Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur les vecteurs, le produit scalaire, l'orthogonalité et le travail mécanique.
Normes et produit scalaire direct
Soit les vecteurs $\vec{u}(5 ; -2)$ et $\vec{v}(3 ; 4)$.
- Calculer $||\vec{u}||$ et $||\vec{v}||$.
- Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
1. $||\vec{u}|| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \mathbf{\sqrt{29}} \approx 5{,}39$.
$||\vec{v}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$.
2. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5(3) + (-2)(4) = 15 - 8 = \mathbf{7}$.
Vérification d'orthogonalité
Déterminer si les vecteurs $\vec{a}(4 ; 6)$ et $\vec{b}(-3 ; 2)$ sont orthogonaux.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4(-3) + 6(2) = -12 + 12 = \mathbf{0}$. Comme le produit scalaire est nul, les vecteurs sont **orthogonaux** ($\vec{a} \perp \vec{b}$).
Manutention : Travail d'une force de traction
Un transpalette déplace une charge de $800\text{ kg}$ sur une distance $d = 20\text{ m}$. L'opérateur tire avec une force $F = 300\text{ N}$ faisant un angle de $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale.
- Calculer le travail $W(\vec{F})$ de la force de traction.
1. $W(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha) = 300 \times 20 \times \cos(30^\circ) = 6000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \mathbf{5\,196\text{ Joules}} \approx \mathbf{5{,}20\text{ kJ}}$ (travail moteur).
Structure métallique : Calcul d'angle d'un treillis
Dans un repère d'ossature, deux barres d'une ferme sont définies par $\vec{u}(6 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; 5)$.
- Calculer l'angle $\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ en degrés (arrondir au dixième).
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6(3) + 2(5) = 18 + 10 = \mathbf{28}$.
• $||\vec{u}|| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ et $||\vec{v}|| = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
• $\cos(\theta) = \frac{28}{\sqrt{40} \times \sqrt{34}} = \frac{28}{\sqrt{1360}} \approx \frac{28}{36{,}878} \approx 0{,}75926$.
• $\theta = \arccos(0{,}75926) \approx \mathbf{40{,}6^\circ}$.