Activités : Vecteurs & Produit Scalaire
Travail mécanique de treuils de remorquage, équilibrage vectoriel de potences de levage et calcul d'angles d'articulation robotique.
Activité 1 : Travail Mécanique & Traction par Treuil d'un Véhicule
Mise en situation professionnelle :
Une dépanneuse remorque un utilitaire sur le plateau incliné à l'aide d'un treuil à câble. Le câble exerce une force constante $\vec{F}$ d'intensité $F = 4\,500\text{ N}$ faisant un angle de $\alpha = 20^\circ$ avec la direction du déplacement rectiligne $\vec{AB}$ d'une longueur $AB = 12\text{ mètres}$.
Travail à réaliser :
- Calculer : Calculer le travail mécanique $W_{AB}(\vec{F})$ développé par le treuil en Joules puis en kilojoules ($\text{kJ}$).
- Analyser : La réaction normale du plateau $\vec{R}_N$ est perpendiculaire au déplacement ($\alpha = 90^\circ$). Justifier que le travail de cette réaction normale est nul ($W = 0\text{ J}$).
- Puissance : Le treuil effectue cette opération de hissage en une durée $\Delta t = 24\text{ secondes}$. Calculer la puissance mécanique moyenne $P = \frac{W}{\Delta t}$ du moteur de treuil en Watts ($\text{W}$).
Corrigé détaillé :
- 1. Calcul du travail : $$W_{AB}(\vec{F}) = 4500 \times 12 \times \cos(20^\circ) = 54\,000 \times 0{,}93969 \approx \mathbf{50\,743\text{ Joules}} \approx \mathbf{50{,}74\text{ kJ}}$$
- 2. Travail de la réaction normale : $$W_{AB}(\vec{R}_N) = R_N \times AB \times \cos(90^\circ) = R_N \times 12 \times 0 = \mathbf{0\text{ J}}$$ Une force perpendiculaire au déplacement ne fournit aucun travail mécanique.
- 3. Puissance moyenne : $$P = \frac{50\,743}{24} \approx \mathbf{2\,114\text{ Watts}} \approx \mathbf{2{,}11\text{ kW}}$$
Activité 2 : Équerre de Renfort & Orthogonalité des Tirants
Mise en situation professionnelle :
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ lié au mur d'un atelier, deux poutrelles d'une potence sont définies par les vecteurs directeurs $\vec{u}(6 ; 8)$ et $\vec{v}(-12 ; 9)$.
Travail à réaliser :
- Calculer : Calculer la norme $||\vec{u}||$ et la norme $||\vec{v}||$.
- Produit scalaire : Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ par la formule analytique $xx' + yy'$.
- Conclure : Les deux poutrelles sont-elles parfaitement orthogonales ? Justifier rigoureusement.
Corrigé détaillé :
- 1. Normes :
• $||\vec{u}|| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$.
• $||\vec{v}|| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = \mathbf{15}$. - 2. Produit scalaire analytique : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times (-12) + 8 \times 9 = -72 + 72 = \mathbf{0}$$
- 3. Orthogonalité : Comme $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont **strictement orthogonaux** ($\vec{u} \perp \vec{v}$). Les deux poutrelles forment un angle droit parfait de 90°.
Activité 3 : Mesure de l'Angle d'Articulation d'un Préhenseur
Les segments articulés d'un doigt de robot sont représentés par les vecteurs $\vec{u}(4 ; 1)$ et $\vec{v}(2 ; 3)$.
- Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$, $||\vec{u}||$ et $||\vec{v}||$.
- Calculer $\cos(\theta)$ et en déduire la valeur de l'angle $\theta$ en degrés (arrondir au dixième).
Corrigé détaillé :
- 1. Calculs intermédiaires :
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4(2) + 1(3) = 8 + 3 = \mathbf{11}$.
• $||\vec{u}|| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}123$.
• $||\vec{v}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}606$. - 2. Angle $\theta$ : $$\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{17} \times \sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{221}} \approx \frac{11}{14{,}866} \approx 0{,}73994$$ $$\theta = \arccos(0{,}73994) \approx \mathbf{42{,}3^\circ}$$