Automatismes : Vecteurs & Produit Scalaire
Norme d'un vecteur, formule analytique $xx'+yy'$, formule trigonométrique, orthogonalité et travail d'une force.
1. Flashcards Réflexes (Cliquez pour retourner)
6 Cartes conceptuellesQuelle est la formule de la norme $||\vec{u}||$ pour un vecteur $\vec{u}(x ; y)$ ?
$$||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Exemple : pour $\vec{u}(3 ; 4)$, $||\vec{u}|| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
Comment calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ à partir des coordonnées $(x;y)$ et $(x';y')$ ?
$$\mathbf{\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'}$$
C'est un nombre réel (scalaire), et non un vecteur !
Quelle est l'expression de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en fonction des normes et de l'angle $\theta$ ?
$$\mathbf{\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)}$$
À quelle condition sur leur produit scalaire deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ($\vec{u} \perp \vec{v}$) ?
$$\mathbf{\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0}$$
car $\cos(90^\circ) = 0$.
Comment calculer $\cos(\theta)$ entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
$$\mathbf{\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}}$$
Puis $\theta = \arccos(\cos \theta)$ sur calculatrice.
Quelle est la formule du travail $W$ d'une force constante $\vec{F}$ le long d'un déplacement $\vec{AB}$ ?
$$\mathbf{W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)}$$
Unité : Joules ($\text{J}$).
2. Challenge Automatismes (10 Questions • 20 Pts)
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