Programme Officiel BO 2020 • Mathématiques Terminale Pro
Vecteurs & Produit Scalaire
Norme de vecteur, produit scalaire analytique et trigonométrique, orthogonalité et travail mécanique d'une force.
I
Norme d'un Vecteur dans un Repère Orthonormé
Norme (Longueur)
Soit un vecteur $\vec{u}(x ; y)$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
La **norme** de $\vec{u}$, notée $||\vec{u}||$, est égale à la distance $OM$ où $M(x;y)$ :
$$\mathbf{||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}}$$
II
Les Deux Formules du Produit Scalaire
1. Formule Analytique (Coordonnées)
$$\mathbf{\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'}$$
Calcul direct et rapide à partir des composantes des vecteurs.
2. Formule Trigonométrique (Angle)
$$\mathbf{\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)}$$
où $\theta$ est l'angle géométrique entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
III
Critère d'Orthogonalité & Calcul d'Angle
Vecteurs Orthogonaux
Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont **orthogonaux** ($\vec{u} \perp \vec{v}$) si et seulement si leur produit scalaire est nul :
$$\mathbf{\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff x x' + y y' = 0}$$
Calcul de l'angle $\theta$ :
$$\cos(\theta) = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2}}$$
IV
Travail d'une Force Constante
Travail Mécanique (Joules)
Le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ est le produit scalaire :
$$\mathbf{W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)}$$
- • Si $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ : $W > 0$ (**travail moteur**).
- • Si $\alpha = 90^\circ$ : $W = 0$ (**travail nul**).
- • Si $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ : $W < 0$ (**travail résistant**, ex: frottements).