Évaluation Formative : Vecteurs & Produit Scalaire
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Norme d'un vecteur :
Calculer la norme exacte du vecteur $\vec{u}(6 ; -8)$.
2. Produit scalaire analytique :
Pour $\vec{u}(4 ; 1)$ et $\vec{v}(2 ; -5)$, calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
3. Condition d'orthogonalité :
Déterminer la valeur du réel $y$ pour que les vecteurs $\vec{a}(3 ; y)$ et $\vec{b}(4 ; -2)$ soient orthogonaux.
4. Travail d'une force :
Une force $F = 200\text{ N}$ agit dans le sens du déplacement de longueur $d = 10\text{ m}$ ($\alpha = 0^\circ$). Quel est son travail mécanique ?
5. Signe du produit scalaire :
Si l'angle entre deux forces est de $\theta = 120^\circ$, préciser le signe de leur produit scalaire ($\cos 120^\circ = -0{,}5$).
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Manutention d'un groupe moto-pompe par pont roulant
Dans un atelier de maintenance, un pont roulant déplace un groupe moto-pompe de masse $m = 600\text{ kg}$ sur une distance rectiligne $AB = 15\text{ mètres}$. Le câble de traction exerce une force constante $\vec{F}$ d'intensité $F = 2\,800\text{ N}$ inclinée d'un angle $\alpha = 25^\circ$ par rapport à la direction horizontale du déplacement $\vec{AB}$.
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Rappeler l'expression littérale du travail $W_{AB}(\vec{F})$ en fonction de $F$, $AB$ et de l'angle $\alpha$.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la valeur numérique du travail $W_{AB}(\vec{F})$ en Joules puis en kilojoules ($\text{kJ}$). Préciser la nature du travail (moteur ou résistant).
Question 3 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Dans un repère orthonormé lié au sol, le déplacement est $\vec{AB}(15 ; 0)$ et la force de traction est $\vec{F}(2800 \cos 25^\circ ; 2800 \sin 25^\circ)$. Retrouver la valeur du travail à l'aide de la formule analytique du produit scalaire $x x' + y y'$.
Question 4 (C2 - Analyser / 2 pts) : Le poids de la charge $\vec{P}$ est vertical vers le bas. Justifier rigoureusement que le travail du poids lors de ce déplacement horizontal est nul ($W_{AB}(\vec{P}) = 0\text{ J}$).
Question 5 (C4 - Valider / 3 pts) : Le déplacement complet dure $\Delta t = 20\text{ secondes}$. Calculer la puissance mécanique utile $P = \frac{W}{\Delta t}$ en Watts puis en kilowatts ($\text{kW}$). Le moteur du pont roulant d'une puissance nominale de $2{,}5\text{ kW}$ est-il suffisant ?
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Rédiger la validation technique de l'opération pour le chef d'atelier.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier les données mécaniques et formules de travail. | Partie 1 (Q1, Q4) • Partie 2 (Q1) | 4 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Expliquer l'orthogonalité et le travail nul. | Partie 1 (Q5) • Partie 2 (Q4) | 3 pts |
| C3. Réaliser | Calculer le produit scalaire (analytique & cosinus). | Partie 1 (Q2, Q3) • Partie 2 (Q2, Q3) | 8 pts |
| C4. Valider | Calculer la puissance et vérifier la conformité du moteur. | Partie 2 (Q5) | 3 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger un avis technique clair et argumenté. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $||\vec{u}|| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ (1 pt).
- 2. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4(2) + 1(-5) = 8 - 5 = \mathbf{3}$ (1 pt).
- 3. $3(4) + y(-2) = 0 \iff 12 - 2y = 0 \iff 2y = 12 \iff \mathbf{y = 6}$ (1 pt).
- 4. $W = 200 \times 10 \times 1 = \mathbf{2\,000\text{ Joules}}$ (1 pt).
- 5. $\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 < 0$ car $\cos(120^\circ) = -0{,}5 < 0$ (**signe négatif**) (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)$ (2 pts).
- Q2. $W_{AB}(\vec{F}) = 2800 \times 15 \times \cos(25^\circ) = 42\,000 \times 0{,}90631 \approx \mathbf{38\,065\text{ Joules}} \approx \mathbf{38{,}07\text{ kJ}}$.
Comme $W > 0$, il s'agit d'un **travail moteur** (3 pts). - Q3. $x_F = 2800 \cos 25^\circ \approx 2537{,}66\text{ N}$ et $y_F = 2800 \sin 25^\circ \approx 1183{,}35\text{ N}$.
$\vec{F} \cdot \vec{AB} = 2537{,}66 \times 15 + 1183{,}35 \times 0 = \mathbf{38\,065\text{ Joules}}$ (3 pts). - Q4. Le poids est vertical et le déplacement est horizontal, donc $\vec{P} \perp \vec{AB}$ ($\alpha = 90^\circ$).
Comme $\cos(90^\circ) = 0$, $W_{AB}(\vec{P}) = \mathbf{0\text{ J}}$ (2 pts). - Q5. Puissance utile : $P = \frac{38\,065}{20} \approx \mathbf{1\,903{,}25\text{ Watts}} \approx \mathbf{1{,}90\text{ kW}}$.
Comme $1{,}90\text{ kW} \le 2{,}5\text{ kW}$, le moteur du pont roulant est **parfaitement suffisant** (3 pts). - Q6. Validation : *"Le moteur du pont roulant (2,5 kW) dispose d'une marge de puissance de 24 % pour transporter la moto-pompe en toute sécurité."* (2 pts).