TP TICE : Application Suites & Recherche de Seuil
Maîtriser l'application Suites de la NumWorks pour programmer des suites explicites et récurrentes, générer des tableaux de valeurs et déterminer graphiquement ou numériquement un seuil d'amortissement.
Méthode NumWorks : Application « Suites »
- • Ouvrir l'application Suites.
- • Sélectionner Ajouter une suite.
- • Choisir :
- Explicite : $u(n) = 1500 \times 1.05^{n-1}$
- Récurrente d'ordre 1 : $u(n+1) = u(n) + 120$ avec $u(1) = 450$.
- • Aller sur l'onglet Tableau en haut.
- • Cliquer sur Régler l'intervalle : fixer $n_{\min}=1$, $n_{\max}=20$, pas $=1$.
- • Faire défiler les valeurs de $u(n)$ et repérer instantanément les dépassements de seuil.
- • Dans l'application Calculs :
- • Touche toolbox $\rightarrow$ Suites $\rightarrow$ Somme des termes $\sum$.
- • Ou taper directement la formule de somme pour valider le résultat.
Étude de Cas : Remplacement d'une Pompe Hydraulique Industrielle
Mise en situation :
Une pompe haute pression coûte $u_1 = 15\,000\text{ €}$ neuve la première année. Ses coûts annuels de maintenance $(C_n)$ augmentent de 15 % par an en raison de l'usure mécanique, avec $C_1 = 800\text{ €}$ la première année ($C_n = 800 \times (1{,}15)^{n-1}$).
En parallèle, la valeur marchande résiduelle de la pompe $(V_n)$ diminue de 20 % par an : $V_1 = 15\,000\text{ €}$ et $V_n = 15\,000 \times (0{,}80)^{n-1}$.
1. Saisir les deux suites $(C_n)$ et $(V_n)$ dans l'application Suites de votre NumWorks.
2. Dans le tableau de valeurs, relever les coûts de maintenance $C_n$ et la valeur résiduelle $V_n$ pour les 6 premières années.
3. Déterminer à partir de quelle année le coût de maintenance annuel dépasse la valeur résiduelle de la pompe ($C_n > V_n$).
4. Calculer la dépense cumulée totale de maintenance sur les 6 premières années.
- 1. Saisie NumWorks : $u(n) = 800 \times 1.15^{n-1}$ et $v(n) = 15000 \times 0.80^{n-1}$.
- 2. Tableau de valeurs :
• $n=1$ : $C_1 = 800\text{ €}$, $V_1 = 15\,000\text{ €}$.
• $n=5$ : $C_5 = 800 \times 1{,}15^4 \approx 1\,399\text{ €}$, $V_5 = 15\,000 \times 0{,}8^4 = 6\,144\text{ €}$.
• $n=8$ : $C_8 \approx 2\,128\text{ €}$, $V_8 \approx 3\,145\text{ €}$.
• $n=9$ : $C_9 \approx 2\,447\text{ €}$, $V_9 \approx 2\,516\text{ €}$.
• $n=10$ : $C_{10} \approx \mathbf{2\,814\text{ €}} > V_{10} \approx \mathbf{2\,013\text{ €}}$. - 3. Seuil de rentabilité : Le coût annuel d'entretien dépasse la valeur de la machine dès la **10e année**.
- 4. Somme de maintenance sur 6 ans : $$S_6 = 800 \times \frac{1 - 1{,}15^6}{1 - 1{,}15} = 800 \times \frac{-1{,}31306}{-0{,}15} \approx \mathbf{7\,003\text{ €}}$$