Évaluation Formative : Suites Numériques
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Terme arithmétique :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 12$ et de raison $r = 5$. Calculer $u_4$.
2. Terme géométrique :
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_1 = 4$ et de raison $q = 3$. Calculer $v_3$.
3. Taux d'évolution :
Un coût augmente de 4 % par an. Donner la raison $q$ de la suite géométrique correspondante.
4. Somme arithmétique :
Calculer la somme $S = u_1 + u_2 + u_3$ pour $u_1 = 10$ et $u_3 = 20$.
5. Sens de variation :
La suite $u_n = 500 \times (0{,}92)^{n-1}$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Économies d'énergie et plan d'investissement
Une usine consomme initialement $E_1 = 500\,000\text{ kWh}$ de gaz la première année (2024). Grâce à un plan d'isolation thermique, sa consommation de gaz diminue de 6 % par an ($E_n = 500\,000 \times 0{,}94^{n-1}$).
En complément, l'entreprise installe des panneaux solaires dont la production électrique annuelle $P_n$ commence à $P_1 = 30\,000\text{ kWh}$ la 1ère année et augmente de 10 000 kWh par an grâce à l'ajout de nouvelles surfaces ($P_n = 30\,000 + (n-1) \times 10\,000$).
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Préciser la nature (arithmétique ou géométrique) et la raison de chacune des deux suites $(E_n)$ et $(P_n)$.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la consommation de gaz $E_5$ et la production solaire $P_5$ pour l'année 2028 ($n = 5$). Arrondir à l'unité.
Question 3 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la quantité totale cumulée d'énergie solaire produite entre 2024 et 2028 (somme $S_5 = P_1 + \dots + P_5$).
Question 4 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la consommation totale cumulée de gaz sur cette même période de 5 ans.
Question 5 (C2 & C4 - Analyser & Valider / 2 pts) : L'entreprise s'était fixé l'objectif de réduire sa consommation de gaz annuelle sous le seuil de $300\,000\text{ kWh}$ d'ici 2032 ($n = 9$). Cet objectif sera-t-il atteint ? Justifier par le calcul.
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Rédiger un bilan de transition énergétique résumant les résultats pour la direction technique.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier la nature d'une suite et ses paramètres ($u_1, r, q$). | Partie 1 (Q3, Q5) • Partie 2 (Q1) | 4 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Poser une inéquation de seuil pour déterminer une année cible. | Partie 2 (Q5) | 2 pts |
| C3. Réaliser | Calculer des termes généraux et des sommes de termes. | Partie 1 (Q1, Q2, Q4) • Partie 2 (Q2, Q3, Q4) | 10 pts |
| C4. Valider | Vérifier l'atteinte d'un objectif de réduction de consommation. | Partie 2 (Q5) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger une synthèse claire des performances énergétiques. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $u_4 = 12 + (4 - 1) \times 5 = 12 + 15 = \mathbf{27}$ (1 pt).
- 2. $v_3 = 4 \times 3^{3-1} = 4 \times 9 = \mathbf{36}$ (1 pt).
- 3. $q = 1 + 0{,}04 = \mathbf{1{,}04}$ (1 pt).
- 4. $S = 3 \times \frac{10 + 20}{2} = 3 \times 15 = \mathbf{45}$ (1 pt).
- 5. Comme $0 < q = 0{,}92 < 1$ et $u_1 > 0$, la suite est **décroissante** (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $(E_n)$ est une suite géométrique de premier terme $E_1 = 500\,000$ et de raison $q = 0{,}94$. $(P_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $P_1 = 30\,000$ et de raison $r = 10\,000$ (2 pts).
- Q2. En 2028 ($n=5$) :
• $E_5 = 500\,000 \times (0{,}94)^4 \approx \mathbf{390\,372\text{ kWh}}$.
• $P_5 = 30\,000 + 4 \times 10\,000 = \mathbf{70\,000\text{ kWh}}$ (3 pts). - Q3. Somme solaire cumulée $S_5$ : $$S_5 = 5 \times \frac{30\,000 + 70\,000}{2} = 5 \times 50\,000 = \mathbf{250\,000\text{ kWh}}$$ (3 pts).
- Q4. Somme gaz cumulée : $$S_5 = 500\,000 \times \frac{1 - 0{,}94^5}{1 - 0{,}94} = 500\,000 \times \frac{0{,}2661}{0{,}06} \approx \mathbf{2\,217\,500\text{ kWh}}$$ (3 pts).
- Q5. En 2032 ($n = 9$) : $E_9 = 500\,000 \times 0{,}94^8 \approx 304\,937\text{ kWh} > 300\,000\text{ kWh}$.
L'objectif de passer sous $300\,000\text{ kWh}$ sera atteint en 2033 ($n=10$ où $E_{10} \approx 286\,640\text{ kWh}$). Il ne sera donc pas encore tout à fait atteint en 2032 (2 pts). - Q6. Note de synthèse : Le plan d'isolation permet de réduire la facture de gaz de près de 22 % en 5 ans, tandis que le parc photovoltaïque produit un quart de gigawatt-heure cumulé (250 MWh), renforçant considérablement l'autonomie énergétique du site (2 pts).