Suites Arithmétiques & Géométriques
Définitions, formules explicites des termes généraux $u_n$, calcul des sommes et modélisations professionnelles.
Notions Générales sur les Suites Numériques
Définition
Une **suite numérique** $(u_n)$ est une suite ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_1, u_2, u_3, \dots, u_n$.
• $n$ est le **rang** (ou l'indice) du terme.
• $u_n$ est le **terme général** de rang $n$.
Suites Arithmétiques (Modèle Linéaire)
Définition & Récurrence
Une suite est dite **arithmétique** lorsqu'on passe d'un terme au suivant en **ajoutant** toujours le même nombre réel constant $r$, appelé **raison** :
Formule explicite ($u_n$) :
Pour tout entier $n \ge 1$ :
Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 + n r$.
Somme des $n$ premiers termes :
$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ :
• Si $r > 0$, la suite est **strictement croissante**.
• Si $r < 0$, la suite est **strictement décroissante**.
Suites Géométriques (Évolutions à Taux Fixe)
Définition & Récurrence
Une suite est dite **géométrique** lorsqu'on passe d'un terme au suivant en **multipliant** toujours par le même nombre réel non nul $q$, appelé **raison** :
Formule explicite ($u_n$) :
Pour tout entier $n \ge 1$ :
Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^n$.
Somme des $n$ premiers termes ($q \neq 1$) :
$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ :
• Si $q > 1$, la suite est **strictement croissante** (ex: augmentation de $t\ \%$, $q = 1 + \frac{t}{100}$).
• Si $0 < q < 1$, la suite est **strictement décroissante** (ex: décote de $t\ \%$, $q = 1 - \frac{t}{100}$).
Fiche Méthode Comparatif Bac Pro A4
| Propriété | Suite Arithmétique | Suite Géométrique |
|---|---|---|
| Relation de récurrence | $u_{n+1} = u_n + r$ | $u_{n+1} = q \times u_n$ |
| Terme général $u_n$ ($u_1$) | $u_n = u_1 + (n-1)r$ | $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ |
| Somme $S_n$ | $S_n = n \times \frac{u_1 + u_n}{2}$ | $S_n = u_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$ |
| Contexte type | Ajout d'une quantité constante | Pourcentage de variation $(1 \pm t)$ |