Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur les suites arithmétiques et géométriques avec corrigés rédigés.
Termes et somme d'une suite arithmétique
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_1 = 50$ et de raison $r = 8$.
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- Calculer $u_{10}$.
- Calculer la somme $S_{10} = u_1 + u_2 + \dots + u_{10}$.
1. $u_n = 50 + (n - 1) \times 8 = \mathbf{8n + 42}$.
2. $u_{10} = 50 + 9 \times 8 = 50 + 72 = \mathbf{122}$.
3. $S_{10} = 10 \times \frac{50 + 122}{2} = 10 \times 86 = \mathbf{860}$.
Termes et somme d'une suite géométrique
Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_1 = 500$ et de raison $q = 1{,}04$.
- Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
- Calculer $v_5$ (arrondir au centième).
- Calculer la somme $S_5 = v_1 + v_2 + \dots + v_5$ (arrondir au centième).
1. $v_n = 500 \times (1{,}04)^{n - 1}$.
2. $v_5 = 500 \times (1{,}04)^4 = 500 \times 1{,}169858 \approx \mathbf{584{,}93}$.
3. $S_5 = 500 \times \frac{1 - (1{,}04)^5}{1 - 1{,}04} = 500 \times \frac{-0{,}21665}{-0{,}04} \approx \mathbf{2\,708{,}16}$.
Énergie : Dégradation de rendement solaire
Une centrale solaire photovoltaïque produit $P_1 = 400\text{ MWh}$ la 1ère année. En raison du vieillissement des cellules, la production baisse de 1,5 % par an.
- Montrer que la production annuelle $(P_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$.
- Calculer la production prévue lors de la 10e année ($P_{10}$).
- Calculer la production totale cumulée d'électricité sur les 10 premières années d'exploitation.
1. $q = 1 - \frac{1{,}5}{100} = \mathbf{0{,}985}$. Suite géométrique de raison $q = 0{,}985$ et premier terme $P_1 = 400$.
2. $P_{10} = 400 \times (0{,}985)^9 \approx \mathbf{349{,}1\text{ MWh}}$.
3. $S_{10} = 400 \times \frac{1 - (0{,}985)^{10}}{1 - 0{,}985} = 400 \times \frac{0{,}14034}{0{,}015} \approx \mathbf{3\,742{,}4\text{ MWh}}$.
BTP : Coût progressif d'un forage géothermique
Pour forer un puits géothermique, le premier mètre foré coûte $u_1 = 100\text{ €}$. En raison de la dureté croissante du sol, chaque mètre supplémentaire coûte 12 € de plus que le précédent ($r = 12$).
- Calculer le coût du 20e mètre ($u_{20}$).
- Calculer le coût total du forage pour un puits de 20 mètres de profondeur ($S_{20}$).
1. $u_{20} = 100 + 19 \times 12 = 100 + 228 = \mathbf{328\text{ €}}$.
2. $S_{20} = 20 \times \frac{100 + 328}{2} = 20 \times 214 = \mathbf{4\,280\text{ €}}$.