Activités : Suites Numériques
Modélisation de croissances linéaires (suites arithmétiques), d'évolutions à taux fixe (suites géométriques) et gestion financière.
Activité 1 : Évolution d'une Flotte de Bus Électriques (Suite Arithmétique)
Mise en situation professionnelle :
Une régie métropolitaine de transports en commun engage la transition de son parc de véhicules. En 2024 (année $n=1$), le parc compte $u_1 = 40$ bus 100 % électriques. Le plan de déploiement prévoit l'acquisition de 15 nouveaux bus électriques chaque année.
On note $u_n$ le nombre de bus électriques en service l'année de rang $n$.
Travail à réaliser :
- S'approprier : Calculer le nombre de bus électriques en 2025 ($u_2$) et en 2026 ($u_3$). Justifier la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison $r$.
- Réaliser : Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$. En déduire le nombre de bus prévus pour l'année 2030 ($n = 7$).
- Analyser : La régie vise un objectif de 160 bus électriques pour décarboner l'ensemble de ses lignes principales. Déterminer en quelle année cet objectif sera atteint.
- Calcul de somme : Sachant que l'entretien d'un bus coûte forfaitairement $5\,000\text{ €}$ par an, calculer le coût total cumulé d'entretien des bus de 2024 à 2030 (utiliser la formule de somme d'une suite arithmétique).
Corrigé détaillé :
- 1. Premiers termes & Nature :
• $u_2 = 40 + 15 = \mathbf{55}$ bus en 2025.
• $u_3 = 55 + 15 = \mathbf{70}$ bus en 2026.
On ajoute la même constante $r = 15$ chaque année : $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 40$ et de raison $\mathbf{r = 15}$. - 2. Terme général $u_n$ et prévision 2030 : $$u_n = u_1 + (n - 1)r = 40 + (n - 1) \times 15 = \mathbf{15n + 25}$$ Pour 2030 ($n = 2030 - 2024 + 1 = 7$) : $$u_7 = 40 + (7 - 1) \times 15 = 40 + 90 = \mathbf{130\text{ bus}}$$
- 3. Année pour 160 bus : $$160 = 15n + 25 \iff 15n = 135 \iff n = \frac{135}{15} = \mathbf{9}$$ Le rang $n = 9$ correspond à l'année $2024 + (9 - 1) = \mathbf{2032}$.
- 4. Somme cumulée du parc de 2024 à 2030 (7 ans) : $$S_7 = 7 \times \frac{u_1 + u_7}{2} = 7 \times \frac{40 + 130}{2} = 7 \times 85 = \mathbf{595\text{ années-bus}}$$ Coût total d'entretien : $595 \times 5\,000\text{ €} = \mathbf{2\,975\,000\text{ €}}$ (environ 2,975 M€).
Activité 2 : Dépréciation d'un Centre d'Usinage 5 Axes (Suite Géométrique)
Mise en situation professionnelle :
Une entreprise de mécanique de précision investit dans un centre d'usinage à commande numérique d'une valeur à neuf de $u_1 = 120\,000\text{ €}$. Chaque année, la valeur résiduelle de la machine subit une dépréciation constante de 12 % par rapport à l'année précédente.
Travail à réaliser :
- S'approprier : Calculer le coefficient multiplicateur $q$ associé à une diminution de 12 %. Justifier la nature géométrique de la suite $(u_n)$.
- Réaliser : Calculer la valeur résiduelle $u_2$ au bout d'un an, puis $u_3$ au bout de deux ans.
- Formule explicite : Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire la valeur marchande de la machine après 5 ans ($u_6$, arrondir à l'euro).
- Décision comptable : L'entreprise décide de revendre la machine dès que sa valeur marchande passe sous la barre des $45\,000\text{ €}$. À l'aide de la calculatrice NumWorks (tableau de valeurs de l'application Suites), déterminer au bout de combien d'années la machine sera revendue.
Corrigé détaillé :
- 1. Raison $q$ : $$q = 1 - \frac{12}{100} = 1 - 0{,}12 = \mathbf{0{,}88}$$ Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $0{,}88$ : $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_1 = 120\,000$ et de raison $\mathbf{q = 0{,}88}$.
- 2. Premières valeurs :
• $u_2 = 120\,000 \times 0{,}88 = \mathbf{105\,600\text{ €}}$.
• $u_3 = 105\,600 \times 0{,}88 = \mathbf{92\,928\text{ €}}$. - 3. Valeur après 5 ans ($u_6$) : $$u_n = u_1 \times q^{n-1} \implies u_6 = 120\,000 \times (0{,}88)^{5} = 120\,000 \times 0{,}52773 = \mathbf{63\,328\text{ €}}$$
- 4. Recherche du seuil $u_n < 45\,000\text{ €}$ :
Tableau de valeurs sur NumWorks :
• Pour $n = 8$ (après 7 ans) : $u_8 = 120\,000 \times 0{,}88^7 \approx 49\,044\text{ €}$.
• Pour $n = 9$ (après 8 ans) : $u_9 = 120\,000 \times 0{,}88^8 \approx \mathbf{43\,159\text{ €}} < 45\,000\text{ €}$. La machine sera donc revendue au cours de la **8e année d'exploitation**.
Activité 3 : Constitution d'un Capital d'Investissement
Un artisan électricien place au 1er janvier un capital initial $C_0 = 20\,000\text{ €}$ sur un compte d'épargne rémunéré à 3,5 % à intérêts composés par an (les intérêts acquis chaque année s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts).
- Montrer que le capital disponible $C_n$ au bout de $n$ années est modélisé par une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Calculer le capital disponible après 6 années de placement. En déduire le montant total des intérêts générés.
Corrigé détaillé :
- 1. Modélisation : $$q = 1 + \frac{3{,}5}{100} = \mathbf{1{,}035}$$ $$C_n = C_0 \times q^n = \mathbf{20\,000 \times (1{,}035)^n}$$
- 2. Capital au bout de 6 ans : $$C_6 = 20\,000 \times (1{,}035)^6 = 20\,000 \times 1{,}229255 \approx \mathbf{24\,585{,}11\text{ €}}$$ Intérêts totaux gagnés : $24\,585{,}11 - 20\,000 = \mathbf{4\,585{,}11\text{ €}}$.