TP TICE : Régression Linéaire sur NumWorks
Maîtriser l'application Régression de la NumWorks : saisie des listes, tracé du nuage, calcul des moindres carrés $y = ax + b$, lecture de $R^2$ et prévisions via l'outil dédié.
Protocole Officiel NumWorks : Les 5 Étapes Clés
Depuis l'écran d'accueil NumWorks :
- • Naviguer jusqu'à l'icône jaune Régression avec les flèches.
- • Valider avec la touche OK.
Remplir les colonnes statistiques :
- • Colonne X1 : Saisir les valeurs $x_i$ (abscisses).
- • Colonne Y1 : Saisir les valeurs $y_i$ (ordonnées).
- • Valider chaque nombre avec EXE.
Visualiser le nuage et la droite :
- • Sélectionner l'onglet supérieur Graphique puis OK.
- • Choisir le modèle Linéaire ($ax + b$).
- • La droite et son équation s'affichent en bas d'écran.
Calculer une estimation directement :
- • Sur le graphique, appuyer sur OK $\rightarrow$ choisir Prédiction.
- • Saisir la valeur de $x$ pour obtenir $y$ instantanément.
- • Ou saisir $y$ pour obtenir la valeur de $x$ correspondante !
Consulter tous les paramètres :
- • Aller dans l'onglet Stats pour lire :
- • $\bar{x}$ et $\bar{y}$ (coordonnées du point moyen $G$).
- • $a$ (pente), $b$ (ordonnée à l'origine).
- • $r$ (corrélation) et $r^2$ ou $R^2$ (détermination).
Pour réinitialiser rapidement les données d'un tableau avant un nouvel exercice, sélectionnez l'en-tête de colonne X1 ou Y1, appuyez sur delete puis validez "Effacer la colonne".
Étude Réelle : Banc d'Essai d'un Groupe Moto-Propulseur Hybride
Un banc d'essai mesure la consommation spécifique de carburant $y_i$ (en $\text{g/kWh}$) d'un moteur thermique nouvelle génération en fonction de la puissance mécanique développée $x_i$ (en kW). L'équipe d'ingénierie cherche à modéliser cette consommation afin de paramétrer la gestion électronique (ECU) du véhicule.
| Point d'essai | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | P7 | P8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Puissance $x_i$ (kW) | 30 | 50 | 70 | 90 | 110 | 130 | 150 | 170 |
| Consommation $y_i$ (g/kWh) | 285 | 268 | 252 | 235 | 218 | 202 | 185 | 168 |
Travail à réaliser avec votre calculatrice NumWorks :
Tâche 1 (Saisie) :
Entrer les données dans l'application Régression de la NumWorks ($X_1$ pour la puissance, $Y_1$ pour la consommation).
Tâche 2 (Relevé des paramètres statistiques) :
Dans l'onglet Stats, relever les valeurs de : $\bar{x}$, $\bar{y}$, $a$, $b$ et $r^2$ (arrondir au centième).
Tâche 3 (Contrôle du point moyen G) :
Écrire l'équation de la droite $y = ax + b$ et vérifier par le calcul que le point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$ appartient à cette droite.
Tâche 4 (Prévision avec l'outil NumWorks) :
Dans l'onglet Graphique $\rightarrow$ Prédiction, déterminer la consommation estimée pour une puissance $x = 100\text{ kW}$ (interpolation) puis pour $x = 190\text{ kW}$ (extrapolation).
Tâche 5 (Optimisation et Décision) :
Le cahier des charges environnemental impose une consommation maximale de $210\text{ g/kWh}$. Déterminer la puissance minimale à partir de laquelle ce seuil est respecté.
Résultats NumWorks validés :
- Relevé Stats : $\bar{x} = \mathbf{100\text{ kW}}$, $\bar{y} = \mathbf{226{,}63\text{ g/kWh}}$, donc $\mathbf{G(100\ ; \ 226{,}63)}$.
- Paramètres de la droite : $a = \mathbf{-0{,}833} \approx -0{,}83$ et $b = \mathbf{310{,}0}$.
- Équation de régression : $$\mathbf{y = -0{,}833x + 310{,}0}$$
- Coefficient de détermination : $\mathbf{r^2 = 0{,}999}$ (ajustement quasi-parfait).
- Prédictions :
• Pour $x = 100\text{ kW}$ : $y = -0{,}833 \times 100 + 310{,}0 = \mathbf{226{,}7\text{ g/kWh}}$.
• Pour $x = 190\text{ kW}$ : $y = -0{,}833 \times 190 + 310{,}0 = \mathbf{151{,}7\text{ g/kWh}}$. - Seuil de $210\text{ g/kWh}$ : $$210 = -0{,}833x + 310{,}0 \iff 0{,}833x = 100{,}0 \iff x = \frac{100{,}0}{0{,}833} \approx \mathbf{120\text{ kW}}$$ Le moteur doit développer au moins **$120\text{ kW}$** pour que sa consommation descende sous $210\text{ g/kWh}$.