Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle avec corrigés détaillés pas à pas.
Calcul du point moyen $G$ et contrôle d'appartenance
On considère la série statistique suivante :
| Rang $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valeur $y_i$ | 12 | 15 | 19 | 24 | 30 |
- Calculer les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$.
- La droite d'ajustement par les moindres carrés a pour équation $y = 4{,}5x + 6{,}5$. Vérifier que le point $G$ appartient à cette droite.
1. Coordonnées de G : $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \mathbf{3}$ et $\bar{y} = \frac{12+15+19+24+30}{5} = \frac{100}{5} = \mathbf{20}$. Donc $\mathbf{G(3\ ; \ 20)}$.
2. Vérification : $4{,}5 \times 3 + 6{,}5 = 13{,}5 + 6{,}5 = \mathbf{20} = \bar{y}$. Le point $G$ appartient bien à la droite.
Interpolation & Extrapolation
Une droite d'ajustement modélisant le coût de production $y$ (en k€) en fonction du nombre de pièces usinées $x$ (en centaines) est donnée par : $$y = 1{,}8x + 15$$ pour $x \in [5; 25]$.
- Estimer le coût pour $x = 18$ ($1800$ pièces). Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
- Estimer le coût pour $x = 35$ ($3500$ pièces). Préciser la nature de l'estimation.
- Déterminer le nombre de pièces que l'on peut produire avec un budget de $60\text{ k€}$.
1. Pour $x = 18$ : $y = 1{,}8 \times 18 + 15 = 32{,}4 + 15 = \mathbf{47{,}4\text{ k€}}$. Comme $18 \in [5; 25]$, c'est une **interpolation**.
2. Pour $x = 35$ : $y = 1{,}8 \times 35 + 15 = 63 + 15 = \mathbf{78\text{ k€}}$. Comme $35 > 25$, c'est une **extrapolation**.
3. Budget $y = 60$ : $60 = 1{,}8x + 15 \iff 1{,}8x = 45 \iff x = \frac{45}{1{,}8} = \mathbf{25}$ centaines, soit **$2\,500$ pièces**.
BTP : Résistance mécanique du béton
Sur un chantier de génie civil, on mesure la résistance à la compression $y_i$ (en MPa) d'éprouvettes de béton en fonction de la durée de durcissement $x_i$ (en jours) :
| Durée $x_i$ (j) | 3 | 7 | 14 | 21 | 28 |
|---|---|---|---|---|---|
| Résistance $y_i$ (MPa) | 12 | 18 | 26 | 31 | 35 |
- Déterminer les coordonnées du point moyen $G$.
- À la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine (arrondir au centième).
- Le béton est dit « décoffrable sous charge » dès que sa résistance atteint $30\text{ MPa}$. Estimer le nombre de jours nécessaires.
1. Point G : $\bar{x} = \frac{3+7+14+21+28}{5} = \frac{73}{5} = \mathbf{14{,}6\text{ j}}$ et $\bar{y} = \frac{12+18+26+31+35}{5} = \frac{122}{5} = \mathbf{24{,}4\text{ MPa}}$. $\mathbf{G(14{,}6\ ; \ 24{,}4)}$.
2. Droite des moindres carrés : $a \approx \mathbf{0{,}91}$ et $b \approx \mathbf{11{,}10}$. Donc $$\mathbf{y = 0{,}91x + 11{,}10}$$
3. Résolution $y = 30$ : $30 = 0{,}91x + 11{,}10 \iff 0{,}91x = 18{,}90 \iff x = \frac{18{,}90}{0{,}91} \approx \mathbf{20{,}8\text{ jours}}$. Il faut environ 21 jours.
Électrotechnique : Décharge d'un accumulateur
Lors d'un test sous courant de décharge constant, on mesure la tension $U$ (en V) aux bornes d'une batterie d'onduleur en fonction du temps $t$ (en heures) :
| Temps $t_i$ (h) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tension $U_i$ (V) | 12,8 | 12,5 | 12,2 | 11,9 | 11,6 | 11,3 |
- Montrer que la droite d'ajustement affine est exacte et donner son coefficient directeur $a$ et son ordonnée à l'origine $b$.
- Déterminer à quel instant précis $t$ la tension atteindra le seuil critique d'arrêt automatique fixé à $10{,}5\text{ V}$.
1. Équation de droite : La tension baisse régulièrement de $0{,}3\text{ V}$ par heure. Donc $a = \mathbf{-0{,}30}$ et pour $t=0$, $b = 12{,}8 + 0{,}3 = \mathbf{13{,}10\text{ V}}$. Equation : $$\mathbf{U = -0{,}30t + 13{,}10}$$
2. Arrêt critique $U = 10{,}5\text{ V}$ : $10{,}5 = -0{,}30t + 13{,}10 \iff 0{,}30t = 13{,}10 - 10{,}5 = 2{,}60 \iff t = \frac{2{,}60}{0{,}30} \approx \mathbf{8{,}67\text{ h}}$, soit **8 h 40 min**.