Évaluation Formative : Statistiques à 2 Variables
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Calcul de moyenne :
Calculer la moyenne $\bar{x}$ des valeurs suivantes : $10 \ ; \ 14 \ ; \ 18 \ ; \ 22$.
2. Lecture d'équation :
La droite d'ajustement a pour équation $y = 4x + 15$. Calculer la valeur de $y$ pour $x = 5$.
3. Résolution d'équation :
Résoudre l'équation $3x + 12 = 42$.
4. Propriété du point moyen :
Le point moyen est $G(2; 20)$ et le coefficient directeur est $a = 6$. Déterminer l'ordonnée à l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$.
5. Vocabulaire statistique :
Pour des données relevées de 2020 ($x=1$) à 2024 ($x=5$), préciser si l'estimation pour 2023 ($x=4$) est une interpolation ou une extrapolation.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Étude d'une installation solaire photovoltaïque
Un technicien supérieur en énergies renouvelables étudie la production électrique journalière $y_i$ (en kWh) d'un champ de panneaux photovoltaïques en fonction de la durée d'ensoleillement effectif $x_i$ (en heures) mesurée sur 6 journées représentatives du printemps.
| Jour n° | J1 | J2 | J3 | J4 | J5 | J6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ensoleillement $x_i$ (h) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Production $y_i$ (kWh) | 14 | 25 | 38 | 50 | 63 | 76 |
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Indiquer la variable explicative et la variable à expliquer. Justifier l'allure croissante de la production en fonction des heures d'ensoleillement.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$ du nuage de points.
Question 3 (C3 - Réaliser / 3 pts) : À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$ (arrondir $a$ et $b$ au dixième).
Question 4 (C4 - Valider / 2 pts) : Le coefficient de détermination est $R^2 = 0{,}998$. Indiquer si l'ajustement affine est pertinent en justifiant votre réponse.
Question 5 (C3 - Réaliser / 2 pts) : Les prévisions météo annoncent une journée exceptionnelle avec 14 heures d'ensoleillement. Estimer la production d'électricité de cette journée.
Question 6 (C2 & C5 - Analyser & Communiquer / 3 pts) : Le contrat de rachat d'électricité fixe un objectif journalier minimum de $90\text{ kWh}$. Déterminer par le calcul le nombre minimal d'heures d'ensoleillement requises pour atteindre cet objectif. Rédiger une conclusion claire.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier les variables et le contexte du problème. | Partie 1 (Q5) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Proposer une démarche, poser une équation seuil. | Partie 1 (Q3, Q4) • Partie 2 (Q6) | 4 pts |
| C3. Réaliser | Calculer des moyennes, utiliser la calculatrice pour $y=ax+b$. | Partie 1 (Q1, Q2) • Partie 2 (Q2, Q3, Q5) | 8 pts |
| C4. Valider | Vérifier la validité de l'ajustement via $R^2$. | Partie 2 (Q4) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Présenter les résultats avec unités et phrase de conclusion. | Partie 2 (Q6) | 3 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $\bar{x} = \frac{10+14+18+22}{4} = \frac{64}{4} = \mathbf{16}$ (1 pt).
- 2. $y = 4 \times 5 + 15 = 20 + 15 = \mathbf{35}$ (1 pt).
- 3. $3x = 42 - 12 = 30 \iff x = \frac{30}{3} = \mathbf{10}$ (1 pt).
- 4. $20 = 6 \times 2 + b \iff 20 = 12 + b \iff b = 20 - 12 = \mathbf{8}$ (1 pt).
- 5. $x=4 \in [1; 5]$ : il s'agit d'une **interpolation** (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $x$ (ensoleillement en h) est la variable explicative, $y$ (production en kWh) est la variable expliquée. Plus l'ensoleillement est long, plus l'énergie lumineuse captée par les cellules photovoltaïques est importante, donc la production augmente (2 pts).
- Q2. $\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10+12}{6} = \frac{42}{6} = \mathbf{7\text{ h}}$ et $\bar{y} = \frac{14+25+38+50+63+76}{6} = \frac{266}{6} \approx \mathbf{44{,}3\text{ kWh}}$. $\mathbf{G(7\ ; \ 44{,}3)}$ (3 pts).
- Q3. À la calculatrice : $a \approx \mathbf{6{,}2}$ et $b \approx \mathbf{0{,}8}$. Équation de la droite : $$\mathbf{y = 6{,}2x + 0{,}8}$$ (3 pts).
- Q4. $R^2 = 0{,}998 \ge 0{,}90$ : la valeur est extrêmement proche de 1, ce qui confirme un alignement quasi-parfait des points. L'ajustement affine est **très pertinent** (2 pts).
- Q5. Pour $x = 14$ : $y = 6{,}2 \times 14 + 0{,}8 = 86{,}8 + 0{,}8 = \mathbf{87{,}6\text{ kWh}}$ (2 pts).
- Q6. Objectif $y \ge 90$ : $$90 = 6{,}2x + 0{,}8 \iff 6{,}2x = 90 - 0{,}8 = 89{,}2 \iff x = \frac{89{,}2}{6{,}2} \approx \mathbf{14{,}39\text{ heures}}$$ Il faut donc environ **14 h 24 min** de soleil pour atteindre $90\text{ kWh}$ de production journalière (3 pts).