Automatismes : Statistiques à Deux Variables
Point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$, droite d'ajustement $y = ax + b$, prévisions et interpolation/extrapolation.
1. Flashcards Mémorisation & Réflexes (Cliquez pour retourner)
6 Cartes conceptuellesQu'est-ce qu'un nuage de points pour une série à deux variables $(x_i; y_i)$ ?
C'est l'ensemble des points $M_i(x_i; y_i)$ placés dans un repère orthogonal.
Si les points semblent alignés le long d'une direction privilégiée, on peut envisager un ajustement affine.
Comment calcule-t-on les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$ ?
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N} \quad \text{et} \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i}{N}$$
$N$ est le nombre total de couples de données.
Quelle relation essentielle existe entre la droite d'ajustement et le point $G$ ?
$$\bar{y} = a \bar{x} + b \iff b = \bar{y} - a \bar{x}$$
La droite des moindres carrés passe obligatoirement par le point moyen $G$.
Que signifie la méthode d'ajustement par les « moindres carrés » ?
C'est la droite qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre chaque point et la droite :
$$\sum (y_i - (ax_i+b))^2 \text{ est minimale}$$
Quelle est la différence entre une interpolation et une extrapolation ?
• Interpolation : estimation d'une valeur pour un $x$ situé à l'intérieur de l'intervalle de données $[x_{\min}; x_{\max}]$.
• Extrapolation : prévision pour un $x$ situé hors de l'intervalle (ex: dans le futur).
À quelle condition un ajustement affine est-il considéré comme pertinent ?
L'ajustement est de bonne qualité si le coefficient de détermination $R^2$ est proche de 1 :
$$R^2 \ge 0{,}90 \quad (\text{ou } |r| \ge 0{,}95)$$
2. Challenge Automatismes (10 Questions • 20 Pts)
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