Démarche d'Investigation en Contexte Professionnel
Activités : Statistiques à Deux Variables
Modélisation mathématique, calcul du point moyen $G$, ajustement affine par les moindres carrés et prise de décision industrielle.
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35 min
Maintenance Automobile & Transports
Activité 1 : Diagnostic d'Usure des Plaquettes de Frein
Mise en situation professionnelle :
Dans un centre de maintenance de véhicules utilitaires, le chef d'atelier réalise une étude sur l'usure des garnitures de plaquettes de frein d'une flotte de 6 camionnettes identiques. Il relève le kilométrage $x_i$ (en milliers de kilomètres) et l'épaisseur résiduelle de garniture $y_i$ (en mm).
Norme de sécurité : Le remplacement immédiat des plaquettes est obligatoire dès que l'épaisseur résiduelle atteint 3,0 mm.
| Véhicule n° | V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kilométrage $x_i$ ($10^3\text{ km}$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| Épaisseur $y_i$ (mm) | 11,2 | 9,8 | 8,5 | 7,1 | 5,8 | 4,4 |
Travail à réaliser :
- S'approprier : Indiquer la variable explicative (abscisse $x$) et la variable expliquée (ordonnée $y$). Justifier le fait que l'épaisseur diminue lorsque le kilométrage augmente.
- Réaliser : Calculer la moyenne des kilomètres $\bar{x}$ et la moyenne des épaisseurs $\bar{y}$. En déduire les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$.
- Analyser : À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, déterminer l'équation de la droite d'ajustement par les moindres carrés $y = ax + b$ (arrondir les coefficients au centième).
- Valider : Vérifier par le calcul que le point moyen $G$ appartient bien à cette droite d'ajustement.
- Communiquer : Estimer l'épaisseur résiduelle des plaquettes pour un utilitaire ayant parcouru $45\,000\text{ km}$ ($x = 45$). S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
- Prendre une décision : Déterminer au bout de combien de kilomètres le seuil critique de sécurité ($y = 3{,}0\text{ mm}$) sera atteint. Rédiger la préconisation pour le planning d'entretien.
Corrigé détaillé :
- 1. Variables : $x$ est le kilométrage en milliers de km (variable indépendante), $y$ est l'épaisseur en mm. L'épaisseur diminue avec les kilomètres à cause du frottement mécanique lors des freinages.
- 2. Coordonnées du point moyen $G$ : $$\bar{x} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60}{6} = \frac{210}{6} = \mathbf{35}$$ $$\bar{y} = \frac{11{,}2 + 9{,}8 + 8{,}5 + 7{,}1 + 5{,}8 + 4{,}4}{6} = \frac{46{,}8}{6} = \mathbf{7{,}8}$$ Donc $\mathbf{G(35\ ; \ 7{,}8)}$.
- 3. Équation de la droite des moindres carrés :
À la calculatrice : $a \approx -0{,}135 \approx \mathbf{-0{,}14}$ et $b \approx \mathbf{12{,}55}$.
L'équation de la droite d'ajustement est : $$\mathbf{y = -0{,}135x + 12{,}55}$$ - 4. Vérification d'appartenance de $G$ : $$-0{,}135 \times 35 + 12{,}55 = -4{,}725 + 12{,}55 = 7{,}825 \approx 7{,}8 = \bar{y}$$ Le point $G$ appartient bien à la droite d'ajustement.
- 5. Estimation pour $x = 45$ : $$y = -0{,}135 \times 45 + 12{,}55 = -6{,}075 + 12{,}55 = \mathbf{6{,}475\text{ mm}} \approx 6{,}5\text{ mm}$$ Comme $45 \in [10; 60]$, c'est une **interpolation**.
- 6. Kilométrage limite pour $y = 3{,}0\text{ mm}$ : $$3{,}0 = -0{,}135x + 12{,}55 \iff 0{,}135x = 12{,}55 - 3{,}0 \iff 0{,}135x = 9{,}55 \iff x = \frac{9{,}55}{0{,}135} \approx \mathbf{70{,}74}$$ Le seuil critique de 3 mm sera atteint à environ **$70\,740\text{ km}$**. Préconisation : programmer le remplacement des plaquettes dès la révision des $70\,000\text{ km}$.
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35 min
Bâtiment • Énergie & Électrotechnique
Activité 2 : Consommation de Chauffage & Température Extérieure
Mise en situation professionnelle :
Un technicien en gestion technique du bâtiment (GTB) analyse les relevés de consommation hebdomadaire de gaz $y_i$ (en $\text{m}^3$) de la chaudière collective d'un lycée en fonction de la température extérieure moyenne $x_i$ (en °C) mesurée sur 7 semaines hivernales.
| Semaine | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Température $x_i$ (°C) | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 | 1 | -1 |
| Consommation $y_i$ ($\text{m}^3$) | 180 | 230 | 310 | 360 | 415 | 470 | 525 |
Travail à réaliser :
- S'approprier : Calculer la moyenne des températures $\bar{x}$ et la moyenne des consommations $\bar{y}$. Donner les coordonnées du point moyen $G$.
- Réaliser : Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine $y = ax + b$ par la méthode des moindres carrés (arrondir $a$ et $b$ à l'unité).
- Analyser : Interpréter le signe du coefficient directeur $a$ en lien avec la physique du bâtiment.
- Valider : Le coefficient de détermination vaut $R^2 = 0{,}997$. Justifier si l'ajustement affine est pertinent.
- Extrapolation : Météo-France annonce une vague de froid avec une température moyenne de $-6\text{ °C}$. Estimer la consommation hebdomadaire de gaz à prévoir.
Corrigé détaillé :
- 1. Point Moyen $G$ : $$\bar{x} = \frac{12 + 10 + 7 + 5 + 3 + 1 + (-1)}{7} = \frac{37}{7} \approx \mathbf{5{,}29\text{ °C}}$$ $$\bar{y} = \frac{180 + 230 + 310 + 360 + 415 + 470 + 525}{7} = \frac{2490}{7} \approx \mathbf{355{,}7\text{ m}^3}$$ Donc $\mathbf{G(5{,}29\ ; \ 355{,}7)}$.
- 2. Équation de la droite :
À la calculatrice : $a \approx -26{,}4 \approx \mathbf{-26}$ et $b \approx \mathbf{495{,}6} \approx \mathbf{496}$.
$$\mathbf{y = -26{,}4x + 495{,}6}$$ - 3. Interprétation du signe de $a$ : Le coefficient $a = -26{,}4 < 0$ est négatif : plus la température extérieure baisse de $1\text{ °C}$, plus la consommation de gaz augmente d'environ $26{,}4\text{ m}^3$ pour compenser les déperditions thermiques.
- 4. Pertinence : $R^2 = 0{,}997 > 0{,}90$, ce qui est extrêmement proche de 1. L'ajustement affine est donc **parfaitement pertinent**.
- 5. Extrapolation pour $x = -6\text{ °C}$ : $$y = -26{,}4 \times (-6) + 495{,}6 = 158{,}4 + 495{,}6 = \mathbf{654\text{ m}^3}$$ Pour une semaine à $-6\text{ °C}$, la consommation estimée est d'environ **$654\text{ m}^3$ de gaz**.
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30 min
Gestion & Logistique
Activité 3 : Prévision du Chiffre d'Affaires d'une Plateforme Logistique
Mise en situation professionnelle :
Une société de transport et logistique suit l'évolution de son chiffre d'affaires annuel $y_i$ (en millions d'euros) depuis sa création il y a 6 ans. Le rang de l'année est noté $x_i$ ($x_1 = 1$ pour la première année).
| Rang Année $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chiffre d'Affaires $y_i$ (M€) | 2,1 | 2,6 | 3,2 | 3,7 | 4,1 | 4,8 |
Travail à réaliser :
- Réaliser : Calculer les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$.
- Analyser : Donner l'équation de la droite d'ajustement par les moindres carrés $y = ax + b$ (arrondir à $10^{-2}$).
- Extrapolation : Estimer le chiffre d'affaires prévisionnel pour l'année de rang $x = 8$.
- Objectif : La direction souhaite atteindre un chiffre d'affaires de $6{,}5\text{ M€}$ pour agrandir son entrepôt. Déterminer en quelle année de rang ce seuil sera franchi.
Corrigé détaillé :
- 1. Point Moyen $G$ : $$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \mathbf{3{,}5}$$ $$\bar{y} = \frac{2{,}1 + 2{,}6 + 3{,}2 + 3{,}7 + 4{,}1 + 4{,}8}{6} = \frac{20{,}5}{6} \approx \mathbf{3{,}42}$$ Donc $\mathbf{G(3{,}5\ ; \ 3{,}42)}$.
- 2. Droite des moindres carrés :
$a \approx \mathbf{0{,}53}$ et $b \approx \mathbf{1{,}56}$.
$$\mathbf{y = 0{,}53x + 1{,}56}$$ - 3. Prévision pour l'année 8 ($x = 8$) : $$y = 0{,}53 \times 8 + 1{,}56 = 4{,}24 + 1{,}56 = \mathbf{5{,}8\text{ M€}}$$
- 4. Année pour atteindre $6{,}5\text{ M€}$ : $$6{,}5 = 0{,}53x + 1{,}56 \iff 0{,}53x = 6{,}5 - 1{,}56 = 4{,}94 \iff x = \frac{4{,}94}{0{,}53} \approx \mathbf{9{,}32}$$ Le seuil de 6,5 M€ sera donc franchi au cours de la **10e année** ($x = 10$).