Statistiques à Deux Variables
Nuage de points, point moyen $G$, méthode des moindres carrés, coefficient $R^2$ et prévisions par interpolation/extrapolation.
Séries Statistiques à Deux Variables & Nuage de Points
Définition 1 : Série statistique double
Une **série statistique à deux variables quantitatives** est l'étude simultanée de deux caractères numériques $X$ et $Y$ sur une même population de $N$ individus :
$(x_1; y_1), \ (x_2; y_2), \ \dots, \ (x_N; y_N)$
Définition 2 : Nuage de points
Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points $M_i(x_i; y_i)$ constitue le **nuage de points** associé à la série statistique.
• Si les points sont dispersés sans forme particulière, il n'y a pas de corrélation linéaire évidente.
• Si les points semblent **s'étirer le long d'une droite**, il existe une forte corrélation linéaire entre $X$ et $Y$ : on peut alors réaliser un **ajustement affine**.
Le Point Moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$
Propriété & Formule : Point Moyen G
Le **point moyen** du nuage, noté $G$, a pour coordonnées les moyennes arithmétiques respectives des variables $X$ et $Y$ :
Exemple d'application :
Soit la série de 4 relevés : $(1; 12)$, $(2; 18)$, $(3; 25)$, $(4; 33)$.
$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = \mathbf{2{,}5} \qquad \bar{y} = \frac{12 + 18 + 25 + 33}{4} = \frac{88}{4} = \mathbf{22}$$
Le point moyen est donc $\mathbf{G(2{,}5\ ; \ 22)}$.
Droite d'Ajustement Affine par les Moindres Carrés ($y = ax + b$)
Principe des Moindres Carrés
La **droite de régression de $Y$ en $X$** par la méthode des moindres carrés est la droite d'équation $y = ax + b$ qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points réels $M_i(x_i; y_i)$ et les points ajustés de la droite.
Théorème Fondamental (Passage par G)
La droite d'ajustement par les moindres carrés **passe toujours par le point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$** :
Méthode pour tracer la droite d'ajustement :
- Placer le point moyen $G(\bar{x}; \bar{y})$ dans le repère.
- Choisir une valeur de $x$ éloignée (par exemple $x_A = x_{\max}$), calculer $y_A = a x_A + b$, et placer le point $A(x_A; y_A)$.
- Tracer à la règle la droite passant par $G$ et par $A$.
Coefficient de Détermination $R^2$ et Validité
Sur la calculatrice (ou le tableur), l'ajustement linéaire fournit automatiquement le **coefficient de détermination** $R^2$ (ou le coefficient de corrélation linéaire $r$).
Ajustement Valide :
$$\mathbf{R^2 \ge 0{,}90} \quad (\text{ou } |r| \ge 0{,}95)$$
Les points sont fortement alignés. L'ajustement affine est de **très bonne qualité** et permet des prévisions fiables.
Ajustement Non Valide :
$$\mathbf{R^2 < 0{,}90}$$
Les points ne sont pas suffisamment alignés. Un ajustement linéaire n'est pas pertinent (envisager un autre modèle : exponentiel, logarithmique...).
Interpolation, Extrapolation & Fiche Synthèse Bac Pro
1. Interpolation
Consiste à estimer la valeur de $y$ pour un $x$ situé **à l'intérieur** de l'intervalle des données expérimentales $[x_{\min}; x_{\max}]$.
Fiabilité : Très élevée.
2. Extrapolation
Consiste à estimer la valeur de $y$ pour un $x$ situé **à l'extérieur** de l'intervalle des données (prévisions dans le futur).
Fiabilité : Valide sous réserve que la tendance se maintienne.
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$
$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{N}$
Placer $G(\bar{x}; \bar{y})$
Calculatrice / Tableur
$y = ax + b$
Vérifier $R^2 \ge 0{,}90$
Passer par $G$
Calculer 2e point $A(x_A; y_A)$
Tracé à la règle
Remplacer $x$ dans $y=ax+b$
Ou résoudre $y_0 = ax+b$
Conclure en contexte