TP TICE : Simulation d'Arbres & Formule de Bayes
Utiliser la NumWorks pour automatiser le calcul des probabilités composées, des probabilités totales et l'inversion conditionnelle de Bayes.
Méthode NumWorks : Calculs de Probabilités Conditionnelles
Dans l'application Calculs :
- • Utiliser la touche fraction / pour entrer $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
- • La NumWorks affiche immédiatement la fraction simplifiée et l'arrondi décimal avec OK.
Pour calculer $P(B)$ :
- • Taper directement :
P(A)*P_A(B) + P(nonA)*P_nonA(B) - • Valider avec la touche EXE.
Pour calculer $P_B(A)$ :
- • Taper la branche $P(A \cap B)$ au numérateur.
- • Diviser par Ans (la réponse précédente correspondant à $P(B)$).
Étude de Cas : Fiabilité d'un Détecteur d'Incendie d'Avion
Mise en situation :
Dans un avion de transport, un système opto-électronique détecte la présence de fumée ou feu en soute (événement $F$). La probabilité qu'un incendie se déclare lors d'un vol est estimée à $P(F) = 0{,}001$ ($0{,}1\ \%$).
- Si un incendie se déclare, l'alarme sonne (événement $A$) avec une probabilité de 99,5 % ($P_F(A) = 0{,}995$).
- S'il n'y a pas d'incendie, une fausse alerte se déclenche dans 0,4 % des cas ($P_{\bar{F}}(A) = 0{,}004$).
1. Construire l'arbre pondéré de probabilités sur votre feuille.
2. Sur votre NumWorks, calculer la probabilité totale qu'une alarme se déclenche : $P(A)$.
3. L'alarme de soute retentit en plein vol. À l'aide de la NumWorks, calculer la probabilité $P_A(F)$ qu'il y ait réellement un feu en soute.
4. Conclure sur le protocole d'urgence des pilotes (procédure d'extinction automatique vs atterrissage forcé immédiat).
- 1. Arbre : $P(F) = 0{,}001$, $P(\bar{F}) = 0{,}999$. $P_F(A) = 0{,}995$, $P_F(\bar{A}) = 0{,}005$. $P_{\bar{F}}(A) = 0{,}004$, $P_{\bar{F}}(\bar{A}) = 0{,}996$.
- 2. Probabilité totale $P(A)$ : $$P(A) = (0{,}001 \times 0{,}995) + (0{,}999 \times 0{,}004) = 0{,}000995 + 0{,}003996 = \mathbf{0{,}004991} \approx 0{,}50\ \%$$
- 3. Probabilité conditionnelle inverse $P_A(F)$ : $$P_A(F) = \frac{0{,}000995}{0{,}004991} \approx \mathbf{0{,}1993} \approx \mathbf{19{,}9\ \%}$$
- 4. Conclusion aéronautique : Même si le capteur est fiable à 99,5 %, comme les incendies sont rarissimes (1 sur 1000), 80 % des alarmes déclenchées sont des fausses alertes. Le système d'aviation arme les extincteurs et déclenche une vérification visuelle par caméra avant de couper les circuits.