Évaluation Formative : Probabilités Conditionnelles
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Événement contraire :
On donne $P_A(B) = 0{,}72$. Calculer la valeur de $P_A(\bar{B})$.
2. Règle du produit :
Sachant que $P(A) = 0{,}5$ et $P_A(B) = 0{,}08$, calculer la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.
3. Formule de conditionnement :
On donne $P(A) = 0{,}25$ et $P(A \cap B) = 0{,}10$. Calculer la probabilité conditionnelle $P_A(B)$.
4. Somme des chemins :
Sachant que $P(A \cap B) = 0{,}14$ et $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}26$, calculer la probabilité totale $P(B)$.
5. Indépendance :
Si $P(A) = 0{,}40$, $P(B) = 0{,}30$ et $P(A \cap B) = 0{,}12$, les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier mentalement.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Contrôle de packs batteries lithium-ion
Un constructeur de véhicules électriques s'approvisionne auprès de deux fournisseurs de cellules de batterie $F_1$ et $F_2$ :
- Le fournisseur $F_1$ livre 70 % des batteries ($P(F_1) = 0{,}70$).
- Le fournisseur $F_2$ livre les 30 % restants ($P(F_2) = 0{,}30$).
- Le taux de défauts d'étanchéité thermique (événement $D$) est de 1,5 % chez $F_1$ ($P_{F_1}(D) = 0{,}015$).
- Le taux de défauts est de 4 % chez $F_2$ ($P_{F_2}(D) = 0{,}040$).
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Définir les événements de l'expérience aléatoire et construire l'arbre pondéré de probabilités associé.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la probabilité qu'une batterie vienne du fournisseur $F_1$ et présente un défaut thermique : $P(F_1 \cap D)$.
Question 3 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Montrer que la probabilité globale qu'une batterie soit défectueuse est égale à $0{,}0225$ ($2{,}25\ \%$).
Question 4 (C4 - Valider / 2 pts) : La norme de sécurité de l'usine exige un taux global de défauts inférieur ou égal à $2{,}5\ \%$. L'approvisionnement actuel respecte-t-il la norme ?
Question 5 (C2 & C3 - Analyser & Réaliser / 3 pts) : Un technicien découvre une batterie défectueuse sur la chaîne de montage. Calculer la probabilité $P_D(F_2)$ que cette batterie provienne du fournisseur $F_2$ (arrondir au millième).
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Rédiger une note de synthèse pour le responsable qualité expliquant pourquoi le fournisseur $F_2$ doit être audité en priorité malgré un volume de livraison plus faible.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé. | Partie 1 (Q1) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Identifier la formule de Bayes pour l'inversion conditionnelle. | Partie 1 (Q5) • Partie 2 (Q5) | 4 pts |
| C3. Réaliser | Calculer des probabilités d'intersection et probabilités totales. | Partie 1 (Q2, Q3, Q4) • Partie 2 (Q2, Q3) | 8 pts |
| C4. Valider | Comparer un taux de défaut à un seuil réglementaire. | Partie 2 (Q4) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger une conclusion claire et argumentée en contexte. | Partie 2 (Q6) | 3 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $P_A(\bar{B}) = 1 - 0{,}72 = \mathbf{0{,}28}$ (1 pt).
- 2. $P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}08 = \mathbf{0{,}04}$ (1 pt).
- 3. $P_A(B) = \frac{0{,}10}{0{,}25} = \mathbf{0{,}40}$ (1 pt).
- 4. $P(B) = 0{,}14 + 0{,}26 = \mathbf{0{,}40}$ (1 pt).
- 5. $P(A) \times P(B) = 0{,}40 \times 0{,}30 = 0{,}12 = P(A \cap B)$ : Oui, ils sont indépendants (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. Arbre à 2 niveaux : $P(F_1)=0{,}70$ et $P(F_2)=0{,}30$. $P_{F_1}(D)=0{,}015$, $P_{F_1}(\bar{D})=0{,}985$, $P_{F_2}(D)=0{,}040$, $P_{F_2}(\bar{D})=0{,}960$ (2 pts).
- Q2. $P(F_1 \cap D) = P(F_1) \times P_{F_1}(D) = 0{,}70 \times 0{,}015 = \mathbf{0{,}0105}$ (3 pts).
- Q3. Probabilités totales : $$P(D) = P(F_1 \cap D) + P(F_2 \cap D) = 0{,}0105 + (0{,}30 \times 0{,}040) = 0{,}0105 + 0{,}0120 = \mathbf{0{,}0225} \quad (2{,}25\ \%)$$ (3 pts).
- Q4. Comme $2{,}25\ \% \le 2{,}5\ \%$, la norme de sécurité est **respectée** (2 pts).
- Q5. Formule de Bayes : $$P_D(F_2) = \frac{P(F_2 \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}0120}{0{,}0225} \approx \mathbf{0{,}533} \quad (53{,}3\ \%)$$ (3 pts).
- Q6. Note de synthèse : Bien que le fournisseur $F_2$ ne représente que 30 % des livraisons, son taux de défaut supérieur (4 % contre 1,5 %) fait qu'une batterie défectueuse sur deux (**53,3 %**) provient de son usine. Il convient donc de prioriser l'audit qualité sur $F_2$ (2 pts).