Démarche d'Investigation en Contexte Professionnel
Activités : Probabilités Conditionnelles
Arbres de probabilités à deux niveaux, formule des probabilités totales, tests de diagnostic et contrôle qualité industriel.
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35 min
Industrie & Électronique Automobile
Activité 1 : Contrôle Qualité de Capteurs de Pression
Mise en situation professionnelle :
Une usine de composants fabrique des capteurs de pression de suralimentation sur deux lignes de production indépendantes $L_1$ et $L_2$ :
- La ligne $L_1$ assure 60 % de la production globale ($P(L_1) = 0{,}60$).
- La ligne $L_2$ assure le reste de la production ($P(L_2) = 0{,}40$).
- Le taux de capteurs défectueux (événement noté $D$) est de 2 % sur la ligne $L_1$ ($P_{L_1}(D) = 0{,}02$).
- Le taux de capteurs défectueux est de 5 % sur la ligne $L_2$ ($P_{L_2}(D) = 0{,}05$).
Un capteur est prélevé au hasard dans la production journalière.
Travail à réaliser :
- S'approprier : Construire et compléter l'arbre pondéré de probabilités modélisant cette situation à deux niveaux (1er niveau : $L_1$ et $L_2$ ; 2e niveau : $D$ et $\bar{D}$).
- Réaliser : Calculer la probabilité que le capteur provienne de la ligne $L_1$ et soit défectueux : $P(L_1 \cap D)$.
- Analyser : En utilisant la formule des probabilités totales, calculer la probabilité globale $P(D)$ qu'un capteur prélevé au hasard soit défectueux.
- Valider & Décider (Probabilité Inverse) : Lors d'un contrôle, un capteur s'avère être défectueux. Déterminer la probabilité $P_D(L_2)$ qu'il ait été produit sur la ligne $L_2$. Rédiger une conclusion pour le responsable qualité.
Corrigé détaillé :
- 1. Arbre pondéré :
• Branche $L_1$ ($0{,}60$) $\rightarrow$ $D$ ($0{,}02$) et $\bar{D}$ ($1 - 0{,}02 = 0{,}98$).
• Branche $L_2$ ($0{,}40$) $\rightarrow$ $D$ ($0{,}05$) et $\bar{D}$ ($1 - 0{,}05 = 0{,}95$). - 2. Calcul de $P(L_1 \cap D)$ : $$P(L_1 \cap D) = P(L_1) \times P_{L_1}(D) = 0{,}60 \times 0{,}02 = \mathbf{0{,}012} \quad (1{,}2\ \%)$$
- 3. Formule des probabilités totales pour $P(D)$ : $$P(D) = P(L_1 \cap D) + P(L_2 \cap D)$$ $$P(D) = (0{,}60 \times 0{,}02) + (0{,}40 \times 0{,}05) = 0{,}012 + 0{,}020 = \mathbf{0{,}032} \quad (3{,}2\ \%)$$ Globalement, 3,2 % des capteurs fabriqués sont défectueux.
- 4. Calcul de la probabilité conditionnelle inverse $P_D(L_2)$ : $$P_D(L_2) = \frac{P(L_2 \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}020}{0{,}032} = \mathbf{0{,}625} \quad (62{,}5\ \%)$$ Conclusion : Sachant qu'un capteur est défectueux, il y a **62,5 %** de risques qu'il provienne de la ligne $L_2$. La maintenance doit en priorité auditer la ligne $L_2$.
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35 min
Santé & Sécurité au Travail (SST)
Activité 2 : Dépistage d'Exposition aux Solvants Chimiques
Mise en situation professionnelle :
Dans un groupe de carrosserie industrielle employant 1 000 salariés, le médecin du travail réalise un test urinaire de dépistage pour détecter une sur-exposition aux vapeurs de solvants aromatiques (événement $E$).
- La prévalence de l'exposition est de 5 % ($P(E) = 0{,}05$).
- Si un salarié est exposé, le test est positif (noté $T$) dans 96 % des cas ($P_E(T) = 0{,}96$, sensibilité).
- Si un salarié n'est pas exposé, le test est négatif dans 90 % des cas ($P_{\bar{E}}(\bar{T}) = 0{,}90$, spécificité).
Travail à réaliser :
- Réaliser : Remplir un tableau croisé d'effectifs théorique pour une population de 1 000 salariés.
- Calculer : Déterminer la probabilité $P(T)$ qu'un test soit positif pour un salarié pris au hasard.
- Analyser : Sachant que le test d'un salarié est positif, calculer la probabilité $P_T(E)$ qu'il soit réellement exposé aux solvants.
- Communiquer : Commenter ce résultat. Pourquoi prescrit-on systématiquement un deuxième test de confirmation biologique ?
Corrigé détaillé :
- 1. Tableau pour 1 000 salariés :
• Exposés $E$ : $5\ \% \times 1000 = \mathbf{50}$ personnes. Non-exposés $\bar{E}$ : $\mathbf{950}$ personnes.
• Parmi les 50 exposés : Test positif $= 50 \times 0{,}96 = \mathbf{48}$ ; Test négatif $= \mathbf{2}$.
• Parmi les 950 non-exposés : Test négatif $= 950 \times 0{,}90 = \mathbf{855}$ ; Faux positifs (test positif) $= 950 - 855 = \mathbf{95}$.
• Total des tests positifs $T = 48 + 95 = \mathbf{143}$. Total des tests négatifs $\bar{T} = 2 + 855 = \mathbf{857}$. - 2. Probabilité $P(T)$ : $$P(T) = \frac{143}{1000} = \mathbf{0{,}143} \quad (14{,}3\ \%)$$
- 3. Valeur Prédictive Positive $P_T(E)$ : $$P_T(E) = \frac{\text{Vrais Positifs}}{\text{Total des Positifs}} = \frac{48}{143} \approx \mathbf{0{,}3357} \quad (33{,}6\ \%)$$
- 4. Conclusion médicale : Bien que le test soit sensible à 96 %, un salarié testé positif n'a qu'environ **33,6 % de chance d'être réellement exposé**, en raison du grand nombre de faux positifs (95 sur 143) dans une population où la prévalence est faible (5 %). Un second test de confirmation est donc indispensable.
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25 min
Logistique & Transport
Activité 3 : Fiabilité de Livraison & Indépendance d'Événements
Une plateforme logistique expédie ses colis par deux modes : Express (événement $E$, 40 % des envois) et Standard (événement $\bar{E}$, 60 % des envois). Le taux de colis arrivant en retard (événement $R$) est de 5 % pour les colis Express et de 5 % pour les colis Standard.
- Calculer $P(E \cap R)$ et $P(R)$.
- Vérifier si les événements $E$ (mode Express) et $R$ (retard de livraison) sont indépendants. Justifier par deux méthodes différentes.
Corrigé détaillé :
- 1. Calculs :
• $P(E \cap R) = 0{,}40 \times 0{,}05 = \mathbf{0{,}020}$.
• $P(R) = (0{,}40 \times 0{,}05) + (0{,}60 \times 0{,}05) = 0{,}020 + 0{,}030 = \mathbf{0{,}050}$ (5 %). - 2. Test d'indépendance :
• Méthode 1 : $P(E) \times P(R) = 0{,}40 \times 0{,}05 = 0{,}020 = P(E \cap R)$.
• Méthode 2 : $P_E(R) = 0{,}05 = P(R)$.
Les événements $E$ et $R$ sont donc **strictement indépendants** : le mode d'envoi choisi n'a aucun impact sur le risque de retard.