Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'entraînement aux probabilités conditionnelles avec corrigés détaillés pas à pas.
Lecture dans un tableau croisé d'effectifs
Dans un parc automobile de 200 véhicules, on note le type de motorisation et l'état des pneus :
| Motorisation | Pneus Usés ($U$) | Pneus Bons ($\bar{U}$) | Total |
|---|---|---|---|
| Électrique ($E$) | 10 | 70 | 80 |
| Thermique ($\bar{E}$) | 30 | 90 | 120 |
| Total | 40 | 160 | 200 |
- Calculer la probabilité qu'un véhicule choisi au hasard soit électrique : $P(E)$.
- Calculer la probabilité $P(E \cap U)$.
- Calculer la probabilité qu'un véhicule électrique ait des pneus usés : $P_E(U)$.
- Calculer la probabilité qu'un véhicule ayant des pneus usés soit électrique : $P_U(E)$.
1. $P(E) = \frac{80}{200} = \mathbf{0{,}40}$.
2. $P(E \cap U) = \frac{10}{200} = \mathbf{0{,}05}$.
3. $P_E(U) = \frac{10}{80} = \mathbf{0{,}125}$ (12,5 %).
4. $P_U(E) = \frac{10}{40} = \mathbf{0{,}25}$ (25 %).
Arbre pondéré & Probabilités Totales
On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A) = 0{,}7$, $P_A(B) = 0{,}8$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}3$.
- Donner la valeur de $P(\bar{A})$ et de $P_A(\bar{B})$.
- Calculer $P(A \cap B)$ et $P(\bar{A} \cap B)$.
- En déduire la probabilité totale $P(B)$.
1. $P(\bar{A}) = 1 - 0{,}7 = \mathbf{0{,}3}$ et $P_A(\bar{B}) = 1 - 0{,}8 = \mathbf{0{,}2}$.
2. $P(A \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}8 = \mathbf{0{,}56}$ et $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}3 = \mathbf{0{,}09}$.
3. $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0{,}56 + 0{,}09 = \mathbf{0{,}65}$.
BTP : Contrôle de conformité de blocs béton
Une centrale à béton fabrique des blocs standards (80 %) et des blocs allégés (20 %). Le taux de non-conformité (défaut noté $D$) est de 3 % pour les blocs standards et de 8 % pour les allégés.
- Dresser l'arbre pondéré de la situation.
- Calculer la probabilité globale qu'un bloc soit défectueux : $P(D)$.
- Un bloc prélevé est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un bloc allégé ?
1. Arbre : $P(S)=0{,}8$, $P(A)=0{,}2$, $P_S(D)=0{,}03$, $P_A(D)=0{,}08$.
2. Proba totale : $P(D) = (0{,}8 \times 0{,}03) + (0{,}2 \times 0{,}08) = 0{,}024 + 0{,}016 = \mathbf{0{,}040}$ (4 %).
3. Proba inverse : $P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}016}{0{,}040} = \mathbf{0{,}40}$ (40 %).
Industrie : Test d'indépendance de production
Dans un atelier d'usinage, on étudie deux événements : $J$ "la pièce est usinée par l'équipe de jour" et $C$ "la pièce est conforme". On relève : $P(J) = 0{,}60$, $P(C) = 0{,}95$ et $P(J \cap C) = 0{,}57$.
- Calculer $P(J) \times P(C)$.
- Les événements $J$ et $C$ sont-ils indépendants ? Que peut-on en déduire pour la qualité du travail des équipes de jour et de nuit ?
1. $P(J) \times P(C) = 0{,}60 \times 0{,}95 = \mathbf{0{,}57}$.
2. Comme $P(J \cap C) = P(J) \times P(C) = 0{,}57$, les événements $J$ et $C$ sont **indépendants**. Cela signifie que le taux de conformité est exactement le même de jour comme de nuit (aucune baisse de qualité la nuit).