Probabilités Conditionnelles
Tableaux croisés, probabilité conditionnelle $P_A(B)$, arbres pondérés, formule des probabilités totales et indépendance.
Vocabulaire & Tableaux Croisés d'Effectifs
Rappels sur les événements
• L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire ($P(\Omega) = 1$).
• L'événement contraire de $A$ est noté $\bar{A}$ et vérifie : $\mathbf{P(\bar{A}) = 1 - P(A)}$.
• L'intersection $A \cap B$ ("$A$ ET $B$") est l'événement réalisé lorsque $A$ et $B$ ont lieu simultanément.
• La réunion $A \cup B$ ("$A$ OU $B$") est l'événement réalisé si au moins l'un des deux a lieu : $\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$.
Probabilité Conditionnelle $P_A(B)$
Définition officielle
Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ avec $P(A) > 0$.
La **probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$** (notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$) est définie par :
Règle du produit :
On en déduit la relation fondamentale de l'intersection :
De même, sur une même condition : $\mathbf{P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)}$.
Arbres Pondérés de Probabilités à Deux Niveaux
Un **arbre pondéré** permet de représenter clairement une expérience aléatoire séquentielle à deux étapes.
Règle 1 : Règle des nœuds
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1 :
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$ et $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$
Règle 2 : Règle du produit
La probabilité de l'événement associé à un chemin complet est le **produit** des probabilités portées par ses branches :
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Formule des Probabilités Totales & Inversion
Théorème des probabilités totales
Comme $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers $\Omega$, la probabilité d'un événement quelconque $B$ est égale à la somme des probabilités des chemins menant à $B$ :
Inversion de conditionnement (Formule de Bayes)
Pour calculer la probabilité inverse $P_B(A)$ (sachant $B$, probabilité que $A$ se soit produit) :
Indépendance de Deux Événements & Fiche Bac Pro
Définition de l'Indépendance
Deux événements $A$ et $B$ sont dits **indépendants** si et seulement si :
Ce qui équivaut à dire que la réalisation de $A$ n'influence pas la probabilité de $B$ : $\mathbf{P_A(B) = P(B)}$.
Définir $A, \bar{A}, B, \bar{B}$.
Identifier $P(A)$ et $P_A(B)$
Placer les probabilités.
Vérifier somme = 1
Somme des branches :
$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$
Formule conditionnelle :
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$