Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur les logarithmes $\ln$ et $\log$ avec corrigés rédigés pas à pas.
Simplifications de logarithmes
Simplifier les expressions suivantes :
- $A = \ln(8) - \ln(2) + \ln(3)$
- $B = \log(500) + \log(2)$
1. $A = \ln(8/2) + \ln(3) = \ln(4) + \ln(3) = \mathbf{\ln(12)}$.
2. $B = \log(500 \times 2) = \log(1000) = \log(10^3) = \mathbf{3}$.
Dérivation de fonctions logarithmiques
Calculer la dérivée des fonctions suivantes pour $x > 0$ :
- $f(x) = 4 \ln(x) - 3x + 7$
- $g(x) = x^2 - 10 \ln(x)$
1. $f'(x) = 4\left(\frac{1}{x}\right) - 3 = \mathbf{\frac{4}{x} - 3}$.
2. $g'(x) = 2x - 10\left(\frac{1}{x}\right) = \mathbf{2x - \frac{10}{x}}$.
Acoustique : Niveaux sonores en décibels
Le niveau d'un ventilateur d'extraction est de $75\text{ dB}$. On installe un second ventilateur identique côte à côte.
- Calculer l'intensité acoustique $I_1$ d'un ventilateur ($I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$).
- Calculer le niveau sonore total obtenu avec les deux ventilateurs.
1. $75 = 10 \log(I_1 / 10^{-12}) \iff \log(I_1 / 10^{-12}) = 7{,}5 \implies I_1 = 10^{-12} \times 10^{7{,}5} = \mathbf{3{,}16 \times 10^{-5}\text{ W/m}^2}$.
2. $I_{\text{tot}} = 2 I_1 \implies L_{\text{tot}} = 10 \log(2 I_1 / 10^{-12}) = 10 \log(2) + 75 \approx 3{,}01 + 75 = \mathbf{78{,}0\text{ dB}}$ (+3 dB pour un doublement).
Équation $a^n = b$ : Temps de dépréciation machine
Une machine industrielle perd 12 % de sa valeur chaque année : $V_n = 50\,000 \times (0{,}88)^n$.
- Déterminer après combien d'années la machine vaudra moins de la moitié de son prix d'achat ($V_n \le 25\,000$).
1. $50\,000(0{,}88)^n \le 25\,000 \iff (0{,}88)^n \le 0{,}5$.
$n \ln(0{,}88) \le \ln(0{,}5) \iff n \ge \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)}$ (on change de sens car $\ln(0{,}88) < 0$).
$n \ge \frac{-0{,}69315}{-0{,}12783} \approx \mathbf{5{,}42\text{ ans}} \implies \mathbf{6\text{ ans}}$.