Programme Officiel BO 2020 • Mathématiques Terminale Pro

Fonctions Logarithmes

Logarithme népérien ($\ln$), logarithme décimal ($\log$), propriétés algébriques, variations et applications professionnelles.

La Fonction Logarithme Népérien $\ln(x)$

La fonction **logarithme népérien** notée $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Elle est définie, continue et dérivable sur l'intervalle $\mathbf{]0 ; +\infty[}$ (strictement positifs).

• Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$

$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$

$\ln(a^n) = n \ln(a)$

La fonction **logarithme décimal** notée $\log$ est définie pour tout $x > 0$ par :

$$\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$

• Propriété clé en base 10 : $\mathbf{\log(10^n) = n}$ pour tout entier $n$.

Exemples : $\log(10) = 1$, $\log(100) = 2$, $\log(1000) = 3$, $\log(0{,}01) = -2$.

III

Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ :

$$\mathbf{(\ln x)' = \frac{1}{x}}$$

Comme $x > 0 \implies \frac{1}{x} > 0$, les fonctions $\ln(x)$ et $\log(x)$ sont **strictement croissantes** sur $]0 ; +\infty[$.

Tableau de signes de $\ln(x)$ :

• Si $0 < x < 1 \implies \ln(x) < 0$ (négatif).

• Si $x = 1 \implies \ln(1) = 0$.

• Si $x > 1 \implies \ln(x) > 0$ (positif).

1. Équation $q^n = b$

$$n = \frac{\ln(b)}{\ln(q)} = \frac{\log(b)}{\log(q)}$$

Utilisé pour trouver la durée de doublement d'un capital ou le temps de décroissance.

2. Acoustique & Chimie

• Décibels : $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$

• Potentiel Hydrogène : $\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]$