Évaluation Formative : Fonctions Logarithmes
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Logarithme décimal :
Calculer la valeur exacte de $\log(10\,000)$.
2. Dérivée :
Déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = 6 \ln(x) + 4x$ pour tout $x > 0$.
3. Propriété opératoire :
Écrire sous la forme d'un seul logarithme : $\ln(15) - \ln(3)$.
4. Équation de base :
Donner la solution exacte de l'équation $\ln(x) = 5$.
5. Sens de variation :
Donner le sens de variation de la fonction $g(x) = -3 \ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ en justifiant par le signe de sa dérivée.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Atténuation sonore avec la distance autour d'un banc d'essai
Lors des essais d'un compresseur d'air haute pression en champ libre, le niveau d'intensité acoustique $L(d)$ (en dB) perçu par les techniciens en fonction de la distance $d$ à la machine (en mètres, pour $d \in [1 ; 50]$) est modélisé par la fonction :
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Calculer le niveau sonore mesuré à 1 mètre ($d = 1\text{ m}$) et à 10 mètres ($d = 10\text{ m}$) de la machine.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Rappeler la relation $\log(d) = \frac{\ln(d)}{\ln(10)}$ et montrer que la fonction dérivée s'écrit $L'(d) = -\frac{20}{d \ln(10)} \approx -\frac{8{,}69}{d}$.
Question 3 (C2 - Analyser / 2 pts) : Quel est le signe de $L'(d)$ sur $[1 ; 50]$ ? En déduire le sens de variation du niveau sonore en fonction de l'éloignement.
Question 4 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la chute de niveau sonore constatée chaque fois que la distance à la source est **multipliée par 2** ($L(2d) - L(d)$).
Question 5 (C4 - Valider / 3 pts) : La réglementation du travail impose une zone de sécurité balisée où le port de protections auditives n'est plus obligatoire dès que le niveau passe **en dessous de 80 dB**. Résoudre l'inéquation $96 - 20 \log(d) \le 80$ pour déterminer le rayon de cette zone de balisage (arrondir au décimètre près).
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Rédiger la consigne de sécurité à afficher à l'entrée de la zone d'essai pour les opérateurs de maintenance.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier les variables acoustiques et calculer des images. | Partie 1 (Q1) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Relier la décroissance logarithmique à la diminution du bruit. | Partie 1 (Q5) • Partie 2 (Q3) | 3 pts |
| C3. Réaliser | Dériver avec $\ln$, simplifier des logarithmes et calculer des différences en dB. | Partie 1 (Q2, Q3, Q4) • Partie 2 (Q2, Q4) | 9 pts |
| C4. Valider | Résoudre l'inéquation logarithmique et trouver la distance seuil. | Partie 2 (Q5) | 3 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger un balisage et une consigne SST explicite. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $\log(10\,000) = \log(10^4) = \mathbf{4}$ (1 pt).
- 2. $f'(x) = 6\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \mathbf{\frac{6}{x} + 4}$ (1 pt).
- 3. $\ln(15) - \ln(3) = \ln(15/3) = \mathbf{\ln(5)}$ (1 pt).
- 4. $\ln(x) = 5 \iff \mathbf{x = e^5} \approx 148{,}4$ (1 pt).
- 5. $g'(x) = -\frac{3}{x} < 0$ sur $]0 ; +\infty[$, donc la fonction est **strictement décroissante** (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1.
• À $d = 1\text{ m}$ : $L(1) = 96 - 20 \log(1) = 96 - 0 = \mathbf{96\text{ dB}}$.
• À $d = 10\text{ m}$ : $L(10) = 96 - 20 \log(10) = 96 - 20(1) = \mathbf{76\text{ dB}}$ (2 pts). - Q2. $L(d) = 96 - \frac{20}{\ln 10} \ln(d) \implies L'(d) = -\frac{20}{\ln 10} \times \frac{1}{d} = \mathbf{-\frac{20}{d \ln(10)}} \approx -\frac{8{,}69}{d}$ (3 pts).
- Q3. Pour tout $d \in [1 ; 50]$, $d > 0 \implies L'(d) < 0$. Le niveau sonore est **strictement décroissant** avec la distance (2 pts).
- Q4. $L(2d) - L(d) = -20 \log(2d) - (-20 \log d) = -20(\log(2d) - \log d) = -20 \log(2) \approx -20(0{,}301) \approx \mathbf{-6{,}02\text{ dB}}$.
Chaque doublement de distance fait chuter le niveau de **6 dB** (3 pts). - Q5. Résolution de $96 - 20 \log(d) \le 80$ : $$-20 \log(d) \le -16 \iff \log(d) \ge \frac{-16}{-20} = 0{,}80$$ $$d \ge 10^{0{,}80} \approx \mathbf{6{,}31\text{ mètres}} \approx \mathbf{6{,}3\text{ m}}$$ La zone de sécurité commence à partir de **6,3 mètres** (3 pts).
- Q6. Consigne de sécurité : *"Zone d'essai compresseur : Port des protections auditives OBLIGATOIRE dans un rayon de 6,3 mètres autour de la machine"* (2 pts).