Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur les fonctions exponentielles avec corrigés rédigés pas à pas.
Simplifications algébriques
Simplifier sous la forme $e^A$ :
- $A = e^3 \times e^5 \times e^{-2}$
- $B = \frac{e^8}{e^2 \times e^4}$
1. $A = e^{3 + 5 - 2} = \mathbf{e^6}$.
2. $B = \frac{e^8}{e^6} = e^{8-6} = \mathbf{e^2}$.
Dérivation de fonctions exponentielles
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- $f(x) = 5 e^{-0{,}4x}$
- $g(x) = 100(1 - e^{-0{,}05x})$
1. $f'(x) = 5(-0{,}4)e^{-0{,}4x} = \mathbf{-2 e^{-0{,}4x}}$.
2. $g'(x) = 100(-(-0{,}05)e^{-0{,}05x}) = \mathbf{5 e^{-0{,}05x}}$.
Électrotechnique : Décharge d'un condensateur
La décharge d'un condensateur est modélisée par $u(t) = 12 e^{-50t}$ ($t$ en secondes).
- Calculer la tension $u(0)$ et $u(0{,}02)$.
- Résoudre $12 e^{-50t} = 1$ pour trouver l'instant où la tension résiduelle atteint 1 V (arrondir à la milliseconde).
1. $u(0) = \mathbf{12\text{ V}}$ et $u(0{,}02) = 12 e^{-1} \approx \mathbf{4{,}41\text{ V}}$.
2. $e^{-50t} = \frac{1}{12} \iff -50t = \ln(1/12) = -\ln(12) \approx -2{,}4849 \implies t = \frac{2{,}4849}{50} \approx \mathbf{0{,}050\text{ s}} \quad (50\text{ ms})$.
BTP : Montée en résistance d'un béton
La résistance à la compression $R(t)$ en MPa d'un béton en fonction du temps $t$ (en jours) est donnée par $R(t) = 35(1 - e^{-0{,}1 t})$.
- Calculer la résistance à 28 jours $R(28)$ (résistance normalisée).
- Un décoffrage est autorisé dès que la résistance atteint 25 MPa. Déterminer le temps d'attente minimal (arrondir au jour supérieur).
1. $R(28) = 35(1 - e^{-2{,}8}) = 35(1 - 0{,}0608) \approx \mathbf{32{,}87\text{ MPa}}$.
2. $35(1 - e^{-0{,}1t}) = 25 \iff 1 - e^{-0{,}1t} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \iff e^{-0{,}1t} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857$.
$-0{,}1t = \ln(0{,}2857) \approx -1{,}2528 \implies t \approx \mathbf{12{,}5\text{ jours}} \implies \mathbf{13\text{ jours}}$.