Démarche d'Investigation en Contexte Professionnel
Activités : Fonctions Exponentielles
Charge de condensateurs industriels, lois de refroidissement thermique et atténuation de signaux optiques.
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35 min
Électrotechnique & Électronique de Puissance
Activité 1 : Charge Transitoire d'un Condensateur de Filtrage
Mise en situation professionnelle :
Dans l'alimentation d'un variateur de vitesse industriel, un condensateur de filtrage est chargé sous une tension continue de $E = 24\text{ V}$. L'évolution de la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur (en volts) en fonction du temps $t$ (en secondes, pour $t \ge 0$) est modélisée par :
$$u(t) = 24\left(1 - e^{-20t}\right)$$
Travail à réaliser :
- S'approprier : Calculer la tension initiale $u(0)$ au moment de la mise sous tension ($t = 0\text{ s}$).
- Calculer : Déterminer la constante de temps $\tau$ du circuit sachant que $u(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$. Calculer la tension atteinte à l'instant $t = \tau$. Quel pourcentage de la tension maximale $E$ représente-t-elle ?
- Dériver : Calculer la dérivée $u'(t)$ et justifier que la tension $u(t)$ est strictement croissante.
- Résoudre : On considère que le condensateur est opérationnel dès que sa tension atteint 23,5 V. Résoudre l'équation $24(1 - e^{-20t}) = 23{,}5$ pour déterminer la durée de charge nécessaire (arrondir au millième de seconde).
Corrigé détaillé :
- 1. Tension initiale : $$u(0) = 24(1 - e^0) = 24(1 - 1) = \mathbf{0\text{ V}}$$
- 2. Constante de temps $\tau$ : $$\frac{1}{\tau} = 20 \implies \tau = \frac{1}{20} = \mathbf{0{,}05\text{ s}} \quad (50\text{ ms})$$ $$u(0{,}05) = 24(1 - e^{-1}) = 24(1 - 0{,}36788) = 24 \times 0{,}63212 \approx \mathbf{15{,}17\text{ V}} \quad (\mathbf{63{,}2\ \%}\text{ de } E)$$
- 3. Dérivée & Sens de variation : $$u'(t) = 24\left(-(-20)e^{-20t}\right) = \mathbf{480 e^{-20t}}$$ Comme $e^{-20t} > 0$, $u'(t) > 0$ pour tout $t \ge 0$, la tension $u(t)$ est **strictement croissante**.
- 4. Résolution de $u(t) = 23{,}5\text{ V}$ : $$24(1 - e^{-20t}) = 23{,}5 \iff 1 - e^{-20t} = \frac{23{,}5}{24} \approx 0{,}97917$$ $$e^{-20t} = 1 - 0{,}97917 = 0{,}02083 \iff -20t = \ln(0{,}02083) \approx -3{,}8712$$ $$t = \frac{-3{,}8712}{-20} \approx \mathbf{0{,}194\text{ s}} \quad (194\text{ ms})$$
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35 min
Métallurgie & Traitement Thermique
Activité 2 : Trempe & Refroidissement d'un Arbre de Transmission
Mise en situation professionnelle :
Après usinage, un arbre de transmission en acier est chauffé à $850\text{ °C}$ puis refroidi dans une cuve d'huile thermostatée à $50\text{ °C}$. La température $T(t)$ de la pièce (en °C) après $t$ minutes de trempe est modélisée par :
$$T(t) = 50 + 800 e^{-0{,}15 t}$$
Travail à réaliser :
- S'approprier : Vérifier la température initiale $T(0)$.
- Calculer : Déterminer la température de la pièce après 10 minutes ($t = 10$).
- Dériver : Calculer la dérivée $T'(t)$ et en déduire le sens de variation de la température.
- Sécurité : Les opérateurs peuvent manipuler la pièce sans risque de brûlure grave dès que sa température descend **sous les $80\text{ °C}$**. Déterminer au bout de combien de minutes la pièce peut être sortie de la cuve (arrondir à la minute supérieure).
Corrigé détaillé :
- 1. Température initiale : $$T(0) = 50 + 800 e^0 = 50 + 800 = \mathbf{850\text{ °C}}$$
- 2. Après 10 minutes : $$T(10) = 50 + 800 e^{-0{,}15(10)} = 50 + 800 e^{-1{,}5} = 50 + 800(0{,}22313) \approx \mathbf{228{,}5\text{ °C}}$$
- 3. Dérivée : $$T'(t) = 800(-0{,}15)e^{-0{,}15t} = \mathbf{-120 e^{-0{,}15t}}$$ Comme $T'(t) < 0$ pour tout $t$, la température est **strictement décroissante**.
- 4. Recherche du seuil $T(t) \le 80\text{ °C}$ : $$50 + 800 e^{-0{,}15t} \le 80 \iff 800 e^{-0{,}15t} \le 30 \iff e^{-0{,}15t} \le \frac{30}{800} = 0{,}0375$$ $$-0{,}15t \le \ln(0{,}0375) \approx -3{,}2834 \iff t \ge \frac{-3{,}2834}{-0{,}15} \approx \mathbf{21{,}89\text{ minutes}}$$ La pièce peut être manipulée après **22 minutes**.
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25 min
Télécommunications & Fibre Optique
Activité 3 : Atténuation d'un Faisceau Laser dans une Fibre Optique
La puissance $P(x)$ (en mW) d'un signal optique le long d'une liaison par fibre monomode en fonction de la distance $x$ (en km) est donnée par : $$P(x) = 10 e^{-0{,}046 x}$$
- Calculer la puissance du signal après $20\text{ km}$ et après $50\text{ km}$ (arrondir au centième).
- Un répéteur optique doit être installé dès que la puissance du signal descend sous $2\text{ mW}$. Déterminer la distance maximale entre deux répéteurs.
Corrigé détaillé :
- 1. Calculs de puissance :
• $P(20) = 10 e^{-0{,}046(20)} = 10 e^{-0{,}92} \approx \mathbf{3{,}99\text{ mW}}$.
• $P(50) = 10 e^{-0{,}046(50)} = 10 e^{-2{,}30} \approx \mathbf{1{,}00\text{ mW}}$. - 2. Distance maximale : $$10 e^{-0{,}046 x} = 2 \iff e^{-0{,}046 x} = 0{,}2 \iff -0{,}046 x = \ln(0{,}2) \approx -1{,}6094$$ $$x = \frac{-1{,}6094}{-0{,}046} \approx \mathbf{35\text{ km}}$$