Évaluation Formative : Fonctions Exponentielles
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Propriété algébrique :
Simplifier sous la forme $e^A$ l'expression : $\frac{e^5 \times e^{-2}}{e^1}$.
2. Dérivée :
Déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = 6 e^{-0{,}5x}$.
3. Équation de base :
Donner la solution exacte de l'équation $e^x = 7$.
4. Valeur initiale :
Pour $g(t) = 150 e^{-2t}$, calculer $g(0)$.
5. Sens de variation :
Préciser le sens de variation sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h(x) = 10 e^{0{,}3x}$ en justifiant par le signe de sa dérivée.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Déperdition thermique nocturne d'un atelier industriel
Dans un atelier de fabrication mécanique, le chauffage est coupé le soir à 20h00 ($t = 0\text{ h}$). La température intérieure $T(t)$ (en °C) en fonction du temps $t$ (en heures, pour $t \in [0 ; 12]$) est modélisée par :
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Déterminer la température initiale de l'atelier à 20h00 ($t = 0$). Quelle est la température extérieure minimale atteinte au cours de la nuit (valeur limite) ?
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la température à minuit ($t = 4\text{ h}$) et à 6h00 du matin ($t = 10\text{ h}$) en arrondissant au dixième de degré.
Question 3 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Déterminer la fonction dérivée $T'(t)$ et préciser son signe pour tout $t \in [0 ; 12]$.
Question 4 (C2 & C3 - Analyser & Réaliser / 3 pts) : Dresser le tableau de variations complet de la fonction $T$ sur l'intervalle $[0 ; 12]$.
Question 5 (C4 - Valider / 2 pts) : Pour préserver les machines de mesure tridimensionnelle, la température de l'atelier ne doit pas descendre **en dessous de 12 °C**. Résoudre l'équation $5 + 15 e^{-0{,}12 t} = 12$ pour déterminer l'heure exacte à laquelle le système de chauffage de maintien doit se déclencher.
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Rédiger un compte-rendu technique concis à destination du responsable de maintenance de l'usine.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier les conditions initiales et les limites physiques. | Partie 1 (Q4) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Justifier le sens de variation et la décroissance thermique. | Partie 1 (Q5) • Partie 2 (Q4) | 4 pts |
| C3. Réaliser | Dériver $C e^{kx}$, calculer des valeurs d'exponentielles et résoudre avec $\ln$. | Partie 1 (Q1, Q2, Q3) • Partie 2 (Q2, Q3) | 9 pts |
| C4. Valider | Calculer le temps de déclenchement du chauffage. | Partie 2 (Q5) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Transmettre une consigne claire d'exploitation technique. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $\frac{e^5 \times e^{-2}}{e^1} = \frac{e^3}{e^1} = e^{3-1} = \mathbf{e^2}$ (1 pt).
- 2. $f'(x) = 6(-0{,}5)e^{-0{,}5x} = \mathbf{-3 e^{-0{,}5x}}$ (1 pt).
- 3. $e^x = 7 \iff \mathbf{x = \ln(7)} \approx 1{,}946$ (1 pt).
- 4. $g(0) = 150 e^0 = \mathbf{150}$ (1 pt).
- 5. $h'(x) = 10(0{,}3)e^{0{,}3x} = 3 e^{0{,}3x} > 0$ car l'exponentielle est strictement positive. Donc $h$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$ (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $T(0) = 5 + 15 e^0 = 5 + 15 = \mathbf{20\text{ °C}}$.
Quand $t$ devient grand, $e^{-0{,}12t} \to 0$, donc la température limite est de $\mathbf{5\text{ °C}}$ (2 pts). - Q2.
• À minuit ($t = 4$) : $T(4) = 5 + 15 e^{-0{,}12(4)} = 5 + 15 e^{-0{,}48} \approx 5 + 15(0{,}61878) \approx \mathbf{14{,}3\text{ °C}}$.
• À 6h00 ($t = 10$) : $T(10) = 5 + 15 e^{-0{,}12(10)} = 5 + 15 e^{-1{,}2} \approx 5 + 15(0{,}30119) \approx \mathbf{9{,}5\text{ °C}}$ (3 pts). - Q3. $T'(t) = 15(-0{,}12)e^{-0{,}12t} = \mathbf{-1{,}8 e^{-0{,}12t}}$.
Comme $e^{-0{,}12t} > 0$, $T'(t) < 0$ pour tout $t \in [0 ; 12]$ (3 pts). - Q4. Tableau de variations : $T$ est strictement décroissante de $20\text{ °C}$ (en $t = 0$) à $T(12) = 5 + 15 e^{-1{,}44} \approx 8{,}6\text{ °C}$ (en $t = 12$) (3 pts).
- Q5. Résolution de $T(t) = 12$ : $$5 + 15 e^{-0{,}12t} = 12 \iff 15 e^{-0{,}12t} = 7 \iff e^{-0{,}12t} = \frac{7}{15} \approx 0{,}46667$$ $$-0{,}12t = \ln(7/15) \approx -0{,}76214 \iff t = \frac{-0{,}76214}{-0{,}12} \approx \mathbf{6{,}35\text{ heures}}$$ $0{,}35\text{ h} = 0{,}35 \times 60 = 21\text{ minutes}$. Le chauffage doit donc se déclencher après **6 h 21 min**, soit à **02h21 du matin** (2 pts).
- Q6. Compte-rendu : Programmer la régulation thermique pour un redémarrage automatique à **02h21** afin de garantir une température minimale de 12 °C et protéger le matériel de métrologie (2 pts).