Fonctions Exponentielles
Définition de $e^x$, propriétés algébriques, dérivation de $e^{kx}$, sens de variation et applications professionnelles.
La Fonction Exponentielle de Base $e$
Définition & Positivité
La fonction **exponentielle** notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$ est l'unique fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ qui est égale à sa propre dérivée ($(e^x)' = e^x$) et qui prend la valeur 1 en 0 ($e^0 = 1$).
• Propriété fondamentale : Pour tout nombre réel $x$, $\mathbf{e^x > 0}$ (strictement positive).
Propriétés algébriques :
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$
$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
$(e^a)^n = e^{n a}$
Fonctions $x \mapsto e^{kx}$ & Dérivation
Règle de dérivation
Soit $k$ un nombre réel non nul et $f(x) = e^{kx}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est :
Plus généralement : $\mathbf{(C e^{kx})' = C \times k e^{kx}}$.
Sens de Variation & Allure des Courbes
Comme $e^{kx} > 0$ pour tout $x$, le signe de la dérivée $f'(x) = k e^{kx}$ dépend **uniquement du signe de $k$** :
• $f'(x) > 0 \implies$ $f$ est **strictement croissante** $\nearrow$.
Exemple : $f(x) = e^{0{,}5x}$ (croissance bactérienne, propagation).
• $f'(x) < 0 \implies$ $f$ est **strictement décroissante** $\searrow$.
Exemple : $f(t) = 100 e^{-0{,}2t}$ (refroidissement, décharge RC).
Résolution d'Équations $e^{kx} = b$
Méthode algébrique (avec logarithme népérien)
Pour tout nombre réel $b > 0$ :