Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur les fonctions cubiques, la dérivation et l'optimisation industrielle.
Dérivation de polynômes cubiques
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$
- $g(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 10$
1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = \mathbf{3(x^2 - 4x + 3)}$.
2. $g'(x) = -6x^2 + 30x - 24 = \mathbf{-6(x^2 - 5x + 4)}$.
Recherche des 2 extremums locaux
Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Déterminer les coordonnées complètes $(x; y)$ du maximum local et du minimum local.
• $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.
• Pour $x = 1$ : $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = \mathbf{2} \implies$ **Maximum local en $(1 ; 2)$**.
• Pour $x = 3$ : $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = \mathbf{-2} \implies$ **Minimum local en $(3 ; -2)$**.
Chaudronnerie : Volume d'un bac sans couvercle
Le volume d'un bac en tôle est $V(x) = 4x^3 - 80x^2 + 300x$ pour $x \in [0 ; 5]$ (en cm).
- Calculer la dérivée $V'(x)$.
- Résoudre $V'(x) = 0$ sur $[0 ; 5]$ et déterminer la découpe $x$ assurant le volume maximal.
1. $V'(x) = 12x^2 - 160x + 300$.
2. $\Delta = (-160)^2 - 4(12)(300) = 25\,600 - 14\,400 = \mathbf{11\,200}$. $\sqrt{\Delta} \approx 105{,}83$.
$x_1 = \frac{160 - 105{,}83}{24} = \frac{54{,}17}{24} \approx \mathbf{2{,}26\text{ cm}}$ (appartient à $[0 ; 5]$). Volume maximal : $V(2{,}26) \approx \mathbf{316\text{ cm}^3}$.
Économie industrielle : Bénéfice de production
Le bénéfice d'un atelier fabriquant $q \in [5 ; 25]$ pièces spéciales par jour est modélisé par $B(q) = -0{,}1 q^3 + 3 q^2 - 20 q - 10$ (en centaines d'euros).
- Déterminer la quantité $q$ maximisant le bénéfice quotidien et calculer ce bénéfice maximal en euros.
• $B'(q) = -0{,}3 q^2 + 6q - 20 = 0$.
• $\Delta = 36 - 4(-0{,}3)(-20) = 36 - 24 = \mathbf{12} > 0$.
• $q_{\max} = \frac{-6 - \sqrt{12}}{-0{,}6} = \frac{-6 - 3{,}464}{-0{,}6} \approx \mathbf{15{,}77} \approx \mathbf{16\text{ pièces}}$.
• Bénéfice maximal : $B(16) = -0{,}1(4096) + 3(256) - 20(16) - 10 = -409{,}6 + 768 - 320 - 10 = \mathbf{28{,}4\text{ centaines d'euros}} = \mathbf{2\,840\text{ €/jour}}$.