Automatismes : Fonctions de Degré 3
Dérivée de degré 2, recherche des 2 extremums locaux, tangentes horizontales et allure de la courbe cubique.
1. Flashcards Réflexes (Cliquez pour retourner)
6 Cartes conceptuellesQuelle est la forme générale d'un polynôme de degré 3 ?
$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$
avec $a \neq 0$ et $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
Quelle est la dérivée $f'(x)$ d'une fonction de degré 3 ?
$$\mathbf{f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c}$$
La dérivée d'une fonction cubique est toujours une fonction du 2nd degré.
Combien d'extremums locaux (max / min) une fonction de degré 3 peut-elle avoir ?
• Si $\Delta_{f'} > 0$ : **2 extremums** (1 maximum local et 1 minimum local).
• Si $\Delta_{f'} \le 0$ : **0 extremum** (strictement monotone).
Comment trouver les abscisses des tangentes horizontales d'une cubique ?
$$\mathbf{f'(x) = 0 \iff 3ax^2 + 2bx + c = 0}$$
On résout l'équation du second degré par $\Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c)$.
Quelle est la forme caractéristique de la courbe d'une fonction de degré 3 ?
• Si $a > 0$ : monte $\nearrow$, descend $\searrow$, puis remonte $\nearrow$ (en N).
• Si $a < 0$ : descend $\searrow$, monte $\nearrow$, puis redescend $\searrow$.
Pourquoi les fonctions de degré 3 sont-elles reines de l'optimisation industrielle en Bac Pro ?
Un volume est le produit de 3 dimensions $x(L-2x)(l-2x)$, conduisant à une fonction cubique dont le **maximum local** donne le volume maximal optimal !
2. Challenge Automatismes (10 Questions • 20 Pts)
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