Activités : Fonctions de Degré 3
Optimisation du volume de bacs industriels, courbes de puissance moteur et raccordements routiers.
Activité 1 : Volume Maximal d'un Bac de Rétention en Tôle
Mise en situation professionnelle :
À partir d'une tôle rectangulaire d'aluminium de dimensions $L = 60\text{ cm}$ par $l = 40\text{ cm}$, un chaudronnier découpe 4 carrés identiques de côté $x$ (en cm, avec $x \in [0 ; 20]$) aux quatre angles, puis plie les bords à 90° pour former un bac sans couvercle. Le volume $V(x)$ en $\text{cm}^3$ est donné par :
Travail à réaliser :
- Dériver : Calculer la fonction dérivée $V'(x)$ pour tout $x \in [0 ; 20]$.
- Résoudre : Résoudre l'équation du second degré $V'(x) = 0$ à l'aide du discriminant $\Delta$. Identifier la seule racine $x_1$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 20]$ (arrondir au millimètre).
- Dresser le tableau de variations : Justifier que le volume $V(x)$ admet bien un maximum pour cette valeur de $x_1$.
- Dimensionner : Calculer la valeur de ce volume maximal en $\text{cm}^3$ puis en **litres** ($1\text{ L} = 1000\text{ cm}^3$).
Corrigé détaillé :
- 1. Dérivée : $$V'(x) = 4(3x^2) - 200(2x) + 2400 = \mathbf{12x^2 - 400x + 2400}$$
- 2. Résolution de $V'(x) = 0$ : $$\Delta = (-400)^2 - 4(12)(2400) = 160\,000 - 115\,200 = \mathbf{44\,800} > 0$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{44\,800} \approx 211{,}66$$ $$x_1 = \frac{400 - 211{,}66}{24} = \frac{188{,}34}{24} \approx \mathbf{7{,}85\text{ cm}} \quad (\in [0 ; 20])$$ $$x_2 = \frac{400 + 211{,}66}{24} \approx 25{,}49\text{ cm} \quad (\text{hors intervalle})$$
- 3. Variations : Comme $a = 12 > 0$, $V'(x) > 0$ pour $x \in [0 ; 7{,}85[$ et $V'(x) < 0$ pour $x \in ]7{,}85 ; 20]$. La fonction $V$ est croissante puis décroissante : **maximum atteint en $x_1 \approx 7{,}85\text{ cm}$**.
- 4. Volume maximal : $$V(7{,}85) = 4(7{,}85)^3 - 200(7{,}85)^2 + 2400(7{,}85) \approx 1935 - 12324 + 18840 \approx \mathbf{8\,450\text{ cm}^3} \approx \mathbf{8{,}45\text{ Litres}}$$
Activité 2 : Puissance Optimale d'un Moteur Thermique
Mise en situation professionnelle :
Lors d'un essai sur banc de puissance à rouleaux, la puissance $P(N)$ (en chevaux, ch) d'un moteur turbo en fonction du régime de rotation $N$ (en milliers de tr/min, pour $N \in [1 ; 6{,}5]$) est modélisée par :
Travail à réaliser :
- Dériver : Calculer la dérivée $P'(N)$.
- Résoudre : Résoudre l'équation du second degré $P'(N) = 0$.
- Optimiser : Déterminer le régime $N_{\max}$ assurant la puissance de pointe et calculer cette puissance maximale en ch puis en $\text{kW}$ ($1\text{ ch} \approx 0{,}7355\text{ kW}$).
Corrigé détaillé :
- 1. Dérivée : $$P'(N) = -2(3N^2) + 21(2N) - 48 = \mathbf{-6N^2 + 42N - 48}$$
- 2. Résolution de $-6N^2 + 42N - 48 = 0$ : $$-6(N^2 - 7N + 8) = 0 \implies \Delta = (-7)^2 - 4(1)(8) = 49 - 32 = \mathbf{17} > 0$$ $$N_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 - 4{,}123}{2} \approx \mathbf{1{,}44} \quad (\text{minimum local})$$ $$N_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 + 4{,}123}{2} \approx \mathbf{5{,}56} \quad (\text{maximum local})$$
- 3. Régime et puissance de pointe :
Régime de puissance maximale : $N_2 \approx \mathbf{5\,560\text{ tr/min}}$.
Puissance maximale : $P(5{,}56) = -2(5{,}56)^3 + 21(5{,}56)^2 - 48(5{,}56) + 80 \approx \mathbf{199{,}4\text{ ch}} \approx \mathbf{146{,}7\text{ kW}}$.
Activité 3 : Raccordement Doux d'une Rampe d'Accès en S
Pour assurer un raccordement sans à-coup entre deux niveaux d'un parking, le profil d'une rampe d'accès est modélisé par : $$y(x) = -2x^3 + 3x^2 \quad \text{pour } x \in [0 ; 1]$$
- Calculer la dérivée $y'(x)$ et vérifier que $y'(0) = 0$ et $y'(1) = 0$ (tangentes horizontales aux raccords).
- Déterminer l'abscisse où la pente $y'(x)$ est maximale (point d'inflexion en $x = 0{,}5$).
Corrigé détaillé :
- 1. Dérivée & Raccords :
$y'(x) = -6x^2 + 6x = 6x(1 - x)$.
• $y'(0) = 0$ et $y'(1) = 0$. Les tangentes sont parfaitement horizontales aux raccords, garantissant un passage fluide sans secousse. - 2. Pente maximale : $y''(x) = -12x + 6 = 0 \iff x = \mathbf{0{,}5}$. Pente maximale : $y'(0{,}5) = -6(0{,}25) + 6(0{,}5) = \mathbf{1{,}5}$ (pente de 150 %).