Fonctions Polynômes de Degré 3
Forme générale, dérivation en polynôme de degré 2, étude du signe avec $\Delta$, tableau de variations et recherche d'extremums.
Forme Générale d'une Fonction de Degré 3
Définition
Une fonction polynôme de degré 3 (ou fonction cubique) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
où $a, b, c, d$ sont des nombres réels avec $\mathbf{a \neq 0}$.
Dérivation & Polynôme Dérivé du Second Degré
Fonction Dérivée
La dérivée d'une fonction de degré 3 est une fonction polynôme du second degré :
Exemple : Pour $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$, la dérivée est $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
Signe de $f'(x)$, Tableau de Variations & Extremums
Pour étudier le sens de variation de $f(x)$, on résout l'équation du second degré $\mathbf{f'(x) = 0}$ en calculant le discriminant de la dérivée :
• La dérivée s'annule en deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.
• La fonction $f$ possède **2 tangentes horizontales**, **1 maximum local** et **1 minimum local**.
• La dérivée conserve un signe constant (celui de $a$).
• La fonction $f$ est **strictement monotone** (toujours croissante ou toujours décroissante).
Méthode Officielle Bac Pro : Optimisation Cubique
- Établir la fonction : Exprimer la grandeur à optimiser (volume, bénéfice, coût) en fonction de la variable $x$ pour obtenir $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
- Dériver : Calculer $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Résoudre $f'(x) = 0$ : Déterminer les racines $x_1$ et $x_2$ et identifier celle qui appartient à l'intervalle de définition du problème réel.
- Dresser le tableau de variations : Vérifier le changement de signe (+ vers - pour un maximum, - vers + pour un minimum).
- Calculer l'extremum : Remplacer $x_0$ dans la fonction initiale $f(x_0)$ et conclure en contexte professionnel.