Évaluation Formative : Fonctions de Degré 3 & Optimisation
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Dérivée :
Déterminer la fonction dérivée de $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 7$.
2. Tangente horizontale :
Pour $g(x) = x^3 - 3x$, donner les deux valeurs de $x$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
3. Signe de la dérivée :
Soit $f'(x) = 3(x - 2)(x - 6)$. Donner le signe de $f'(x)$ pour $x \in ]2 ; 6[$.
4. Valeur d'un extremum :
Pour $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$, calculer la valeur du minimum local atteint en $x = 2$.
5. Dérivée de volume :
Pour $V(x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x$, donner l'expression de $V'(x)$.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Fabrication d'un bac de vidange en tôle pliée
Un atelier de maintenance fabrique un bac de vidange sans couvercle à partir d'une tôle rectangulaire de $40\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. On découpe aux quatre angles 4 carrés de côté $x$ (en cm, avec $x \in [0 ; 10]$). Le volume $V(x)$ (en $\text{cm}^3$) est modélisé par :
$$V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 800x$$
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Vérifier que pour une découpe $x = 2\text{ cm}$, le volume du bac est de $1\,152\text{ cm}^3$.
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Calculer la fonction dérivée $V'(x)$ pour tout $x \in [0 ; 10]$.
Question 3 (C3 - Réaliser / 4 pts) : Résoudre l'équation $V'(x) = 0$ à l'aide du discriminant $\Delta$. Montrer que l'unique solution dans l'intervalle $[0 ; 10]$ est $x_1 \approx 4{,}23\text{ cm}$.
Question 4 (C2 - Analyser / 2 pts) : Dresser le tableau de variations complet de la fonction $V$ sur $[0 ; 10]$ et justifier que $x_1$ correspond bien au volume maximal.
Question 5 (C4 - Valider / 2 pts) : Calculer la capacité maximale du bac en $\text{cm}^3$ puis en litres ($1\text{ L} = 1000\text{ cm}^3$). Arrondir au dixième de litre.
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Le cahier des charges exige une capacité minimale de $1{,}5\text{ Litres}$. Conclure sur la conformité de ce bac.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier la formule du volume et calculer une image. | Partie 1 (Q1) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Dresser le tableau de variations et justifier le maximum. | Partie 1 (Q3) • Partie 2 (Q4) | 3 pts |
| C3. Réaliser | Dériver un polynôme cubique et résoudre avec $\Delta$. | Partie 1 (Q2, Q4, Q5) • Partie 2 (Q2, Q3) | 10 pts |
| C4. Valider | Calculer le volume maximal en litres. | Partie 2 (Q5) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger la conformité par rapport au cahier des charges. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$ (1 pt).
- 2. $g'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff \mathbf{x = 1 \text{ ou } x = -1}$ (1 pt).
- 3. Comme $a = 3 > 0$, la dérivée est du signe de $-a$, donc **négative ($f'(x) < 0$)** entre les racines (1 pt).
- 4. $f(2) = 2^3 - 3(4) + 5 = 8 - 12 + 5 = \mathbf{1}$ (1 pt).
- 5. $V'(x) = 12x^2 - 120x + 200$ (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $V(2) = 4(8) - 120(4) + 800(2) = 32 - 480 + 1600 = \mathbf{1\,152\text{ cm}^3}$ (2 pts).
- Q2. $V'(x) = 4(3x^2) - 120(2x) + 800 = \mathbf{12x^2 - 240x + 800}$ (3 pts).
- Q3. $\Delta = (-240)^2 - 4(12)(800) = 57\,600 - 38\,400 = \mathbf{19\,200} > 0$.
$\sqrt{\Delta} \approx 138{,}56$.
$x_1 = \frac{240 - 138{,}56}{24} \approx \mathbf{4{,}23\text{ cm}}$ (appartient à $[0 ; 10]$).
$x_2 = \frac{240 + 138{,}56}{24} \approx 15{,}77\text{ cm}$ (hors intervalle) (4 pts). - Q4. Tableau de variations : $V'(x) > 0$ sur $[0 ; 4{,}23[$ puis $V'(x) < 0$ sur $]4{,}23 ; 10]$.
La fonction est croissante puis décroissante : le maximum est bien atteint en $x_1 \approx 4{,}23\text{ cm}$ (2 pts). - Q5. $V(4{,}23) \approx 4(4{,}23)^3 - 120(4{,}23)^2 + 800(4{,}23) \approx 302{,}6 - 2147{,}1 + 3384 \approx \mathbf{1\,539{,}5\text{ cm}^3} \approx \mathbf{1{,}54\text{ Litres}}$ (2 pts).
- Q6. Comme $1{,}54\text{ L} \ge 1{,}5\text{ L}$, le bac est **conforme au cahier des charges** (2 pts).