Travaux Dirigés & Exercices Gradués
8 exercices d'application professionnelle sur la dérivation, les tangentes, les variations et l'optimisation industrielle.
Calculs de dérivées usuelles
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9$
- $g(x) = -2x^3 + \frac{10}{x}$ (pour $x > 0$)
1. $f'(x) = 4(3x^2) - 5(2x) + 7 = \mathbf{12x^2 - 10x + 7}$.
2. $g'(x) = -2(3x^2) + 10\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \mathbf{-6x^2 - \frac{10}{x^2}}$.
Équation d'une droite tangente
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 3$.
• $f(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = \mathbf{-2}$.
• $f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2(3) - 4 = \mathbf{2}$.
• Équation : $y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 2(x - 3) - 2 = 2x - 6 - 2 \implies \mathbf{y = 2x - 8}$.
Automobile : Puissance délivrée par un moteur
La puissance $P(x)$ en kW d'un moteur électrique en fonction de son régime $x$ (en milliers de tr/min, pour $x \in [1 ; 6]$) est donnée par $P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 50$.
- Calculer la dérivée $P'(x)$.
- Résoudre $P'(x) = 0$ sur $[1 ; 6]$.
- Dresser le tableau de variations et en déduire le régime assurant la puissance maximale ainsi que sa valeur.
1. $P'(x) = -6x^2 + 30x - 24$.
2. $-6(x^2 - 5x + 4) = 0 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$. Les racines sont $x = 1$ et $\mathbf{x = 4}$.
3. $P'(x) > 0$ sur $]1 ; 4[$ et $P'(x) < 0$ sur $]4 ; 6]$. Maximum atteint en **$x = 4$** (soit 4 000 tr/min) avec $P(4) = -2(64) + 15(16) - 24(4) + 50 = -128 + 240 - 96 + 50 = \mathbf{66\text{ kW}}$.
Logistique : Optimisation de lot économique de commande
Le coût annuel de gestion de stock $C(q)$ en fonction de la taille du lot $q \in [10 ; 200]$ est donné par $C(q) = 0{,}5q + \frac{800}{q}$.
- Déterminer la dérivée $C'(q)$.
- Déterminer la quantité $q$ minimisant le coût de stockage et calculer ce coût minimal.
1. $C'(q) = 0{,}5 - \frac{800}{q^2}$.
2. $0{,}5 - \frac{800}{q^2} = 0 \iff 0{,}5 q^2 = 800 \iff q^2 = 1600 \iff \mathbf{q = 40\text{ unités}}$. Coût minimal : $C(40) = 0{,}5(40) + \frac{800}{40} = 20 + 20 = \mathbf{40\text{ €}}$.