Dérivation & Optimisation
Nombre dérivé, équation de la tangente, tableau des dérivées usuelles, lien signe/variations et recherche d'extremums.
Nombre Dérivé & Tangente à une Courbe
Définition géométrique
Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $a$.
Le **nombre dérivé** $f'(a)$ est le **coefficient directeur** (la pente) de la droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a ; f(a))$.
Équation de la tangente :
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par :
Tableau des Dérivées Usuelles & Opérations
| Fonction $f(x)$ | Fonction Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivation |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \ge 1$) | $n x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
$(u + v)' = u' + v'$
$(k u)' = k \times u'$
Signe de $f'(x)$, Variations & Extremums
Théorème fondamental
• Si pour tout $x \in I$, $\mathbf{f'(x) > 0}$, alors la fonction $f$ est **strictement croissante** $\nearrow$ sur $I$.
• Si pour tout $x \in I$, $\mathbf{f'(x) < 0}$, alors la fonction $f$ est **strictement décroissante** $\searrow$ sur $I$.
• Si pour tout $x \in I$, $\mathbf{f'(x) = 0}$, alors la fonction $f$ est **constante** sur $I$.
Recherche d'Extremum (Maximum ou Minimum) :
Si la dérivée $f'(x)$ **s'annule en $x_0$ en changeant de signe**, alors la fonction $f$ admet un **extremum local** (tangente horizontale $f'(x_0) = 0$).
Fiche Méthode Étude de Fonction Bac Pro
- Calculer la dérivée : Dériver terme à terme $f(x)$ pour obtenir $f'(x)$.
- Étudier le signe de la dérivée : Résoudre $f'(x) = 0$ (équation du 1er ou 2nd degré) et déterminer les zones positives et négatives.
- Dresser le tableau de variations complet : Placer les flèches de variation et calculer les images des bornes et des extremums ($f(x_0)$).
- Conclure en contexte : Répondre précisément à la problématique (dimensionnement optimal, bénéfice maximal, coût minimal).