Évaluation Formative : Dérivation & Optimisation
Durée recommandée : 1 heure • Barème total : 20 points
Automatismes (5 points • Sans calculatrice • 15 min)
1. Dérivée polynomiale :
Déterminer la fonction dérivée de $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 8x - 10$.
2. Nombre dérivé :
Pour $g(x) = x^2 - 6x$, calculer la valeur exacte de $g'(4)$.
3. Tangente horizontale :
Pour quelle valeur de $x$ la tangente à la courbe de $h(x) = -3x^2 + 18x + 2$ est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?
4. Dérivée de l'inverse :
Calculer la dérivée de $k(x) = \frac{8}{x}$ pour tout $x > 0$.
5. Sens de variation :
Soit une fonction $u$ dont la dérivée est $u'(x) = -5x^2 - 2$. Justifier que $u$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Problème Contextualisé (15 points • Avec calculatrice • 45 min)
Mise en situation : Optimisation de la traînée aérodynamique d'un hayon arrière
Dans le cadre de l'optimisation de l'autonomie d'une berline électrique, des ingénieurs modélisent le coefficient de traînée aérodynamique $C_x(\alpha)$ en fonction de l'angle d'inclinaison $\alpha$ du becquet arrière (en degrés, pour $\alpha \in [5 ; 35]$) par la fonction suivante :
Question 1 (C1 - S'approprier / 2 pts) : Calculer la valeur initiale du coefficient de traînée pour un becquet réglé à $\alpha = 5\text{°}$ (arrondir au millième).
Question 2 (C3 - Réaliser / 3 pts) : Déterminer l'expression algébrique de la fonction dérivée $C_x'(\alpha)$.
Question 3 (C3 - Réaliser / 4 pts) : Résoudre l'équation du second degré $C_x'(\alpha) = 0$ sur l'intervalle $[5 ; 35]$ (utiliser le discriminant $\Delta$).
Question 4 (C2 & C3 - Analyser & Réaliser / 2 pts) : Dresser le tableau de signes de $C_x'(\alpha)$ et le tableau de variations complet de la fonction $C_x$ sur $[5 ; 35]$.
Question 5 (C4 - Valider / 2 pts) : Déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha_0$ qui rend la traînée aérodynamique **minimale** et calculer la valeur de ce coefficient minimal $C_{x,\min}$.
Question 6 (C5 - Communiquer / 2 pts) : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point $\alpha = 10\text{°}$ et rédiger une recommandation technique pour le bureau d'études.
Grille Nationale des Compétences Évaluées (Bac Pro)
| Compétence | Capacités Évaluées | Questions | Barème |
|---|---|---|---|
| C1. S'approprier | Identifier la variable, les bornes de l'intervalle et calculer une image. | Partie 1 (Q2) • Partie 2 (Q1) | 3 pts |
| C2. Analyser / Raisonner | Relier le signe de la dérivée aux variations de la traînée. | Partie 1 (Q3, Q5) • Partie 2 (Q4) | 4 pts |
| C3. Réaliser | Calculer une dérivée, résoudre $f'(\alpha) = 0$ et équation de tangente. | Partie 1 (Q1, Q4) • Partie 2 (Q2, Q3, Q6) | 9 pts |
| C4. Valider | Vérifier et identifier l'extremum local (minimum). | Partie 2 (Q5) | 2 pts |
| C5. Communiquer | Rédiger une préconisation technique claire pour les ingénieurs. | Partie 2 (Q6) | 2 pts |
Corrigé Officiel Détaillé & Barème
Partie 1 : Automatismes (5 pts)
- 1. $f'(x) = 5(3x^2) - 2(2x) + 8 = \mathbf{15x^2 - 4x + 8}$ (1 pt).
- 2. $g'(x) = 2x - 6 \implies g'(4) = 2(4) - 6 = \mathbf{2}$ (1 pt).
- 3. $h'(x) = -6x + 18 = 0 \iff 6x = 18 \iff x = \mathbf{3}$ (1 pt).
- 4. $k'(x) = 8\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \mathbf{-\frac{8}{x^2}}$ (1 pt).
- 5. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0 \implies -5x^2 - 2 \le -2 < 0$. Comme la dérivée est strictement négative, $u$ est **strictement décroissante** (1 pt).
Partie 2 : Problème (15 pts)
- Q1. $C_x(5) = 0{,}0002(125) - 0{,}012(25) + 0{,}18(5) + 0{,}25 = 0{,}025 - 0{,}300 + 0{,}900 + 0{,}25 = \mathbf{0{,}875}$ (2 pts).
- Q2. $C_x'(\alpha) = 0{,}0002(3\alpha^2) - 0{,}012(2\alpha) + 0{,}18 = \mathbf{0{,}0006\alpha^2 - 0{,}024\alpha + 0{,}18}$ (3 pts).
- Q3. Résolution de $0{,}0006\alpha^2 - 0{,}024\alpha + 0{,}18 = 0$ :
$\Delta = (-0{,}024)^2 - 4(0{,}0006)(0{,}18) = 0{,}000576 - 0{,}000432 = \mathbf{0{,}000144} > 0$.
$\sqrt{\Delta} = 0{,}012$.
$\alpha_1 = \frac{0{,}024 - 0{,}012}{2 \times 0{,}0006} = \frac{0{,}012}{0{,}0012} = \mathbf{10\text{°}}$
$\alpha_2 = \frac{0{,}024 + 0{,}012}{0{,}0012} = \frac{0{,}036}{0{,}0012} = \mathbf{30\text{°}}$ (4 pts). - Q4. Signe de $C_x'(\alpha)$ ($a = 0{,}0006 > 0$) : positif à l'extérieur des racines ($[5 ; 10[$ et $]30 ; 35]$), négatif entre les racines ($]10 ; 30[$).
Variations de $C_x$ : croissante sur $[5 ; 10]$, décroissante sur $[10 ; 30]$, croissante sur $[30 ; 35]$ (2 pts). - Q5. Le minimum local est atteint en **$\alpha_0 = 30\text{°}$**.
$C_{x,\min} = C_x(30) = 0{,}0002(27000) - 0{,}012(900) + 0{,}18(30) + 0{,}25 = 5{,}4 - 10{,}8 + 5{,}4 + 0{,}25 = \mathbf{0{,}250}$ (2 pts). - Q6. Tangente en $\alpha = 10\text{°}$ : comme $C_x'(10) = 0$ et $C_x(10) = 1{,}050$, l'équation est $\mathbf{y = 1{,}050}$ (tangente horizontale).
Recommandation : Régler le becquet à un angle de **30°** pour abaisser le coefficient de traînée à 0,250 et maximiser l'autonomie sur autoroute (2 pts).