Activités : Dérivation & Optimisation
Étude de vitesses instantanées de robots industriels, dimensionnement optimal de réservoirs et recherche de rendements maximaux.
Activité 1 : Cinématique & Vitesse Instantanée d'un Bras Robotisé
Mise en situation professionnelle :
Sur une ligne de ferrage automobile, un bras robotisé effectue une rotation pour saisir une portière. Sa position angulaire $\theta(t)$ (en radians) en fonction du temps $t$ (en secondes, pour $t \in [0 ; 4]$) est donnée par la loi horaire :
Travail à réaliser :
- S'approprier : Rappeler la définition physique de la vitesse angulaire instantanée $\omega(t)$ en fonction de la position $\theta(t)$.
- Réaliser : Déterminer l'expression de la fonction dérivée $\theta'(t) = \omega(t)$.
- Calculer : Calculer la vitesse angulaire au démarrage ($t = 0\text{ s}$), à mi-parcours ($t = 2\text{ s}$) et en fin de cycle ($t = 4\text{ s}$).
- Optimiser : Pour quelle valeur de $t$ la vitesse angulaire $\omega(t)$ est-elle **maximale** ? Calculer cette vitesse de pointe en $\text{rad/s}$.
Corrigé détaillé :
- 1. Définition : La vitesse angulaire instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps : $\omega(t) = \theta'(t)$.
- 2. Calcul de la dérivée : $$\omega(t) = \theta'(t) = -(3t^2) + 6(2t) = \mathbf{-3t^2 + 12t}$$
- 3. Vitesses aux instants clés :
• $\omega(0) = \mathbf{0\text{ rad/s}}$ (démarrage à l'arrêt).
• $\omega(2) = -3(2)^2 + 12(2) = -12 + 24 = \mathbf{12\text{ rad/s}}$.
• $\omega(4) = -3(4)^2 + 12(4) = -48 + 48 = \mathbf{0\text{ rad/s}}$ (arrêt en position finale). - 4. Vitesse maximale : $\omega(t) = -3t^2 + 12t$ est un polynôme du second degré ($a = -3 < 0$). Le sommet est atteint pour : $$t_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \times (-3)} = \mathbf{2\text{ secondes}}$$ Vitesse maximale : $\omega(2) = \mathbf{12\text{ rad/s}}$.
Activité 2 : Dimensionnement Optimal d'un Réservoir d'Air
Mise en situation professionnelle :
Un bureau d'études doit fabriquer un réservoir d'air comprimé cylindrique fermé d'un volume fixe de $V = 10\text{ m}^3$. Pour minimiser les coûts d'achat de tôle d'acier, on cherche à rendre minimale la surface totale $S(r)$ (en $\text{m}^2$) de la cuve en fonction de son rayon $r$ (en mètres, pour $r \in [0{,}5 ; 3]$) :
Travail à réaliser :
- Réaliser : Déterminer l'expression de la dérivée $S'(r)$ pour tout $r > 0$ (utiliser la dérivée de $\frac{1}{r}$).
- Résoudre : Résoudre l'équation $S'(r) = 0$ pour déterminer le rayon optimal $r_0$ (arrondir au centimètre).
- Dresser le tableau de variations : Justifier que la surface $S(r)$ admet bien un minimum pour ce rayon $r_0$.
- Dimensionner : Calculer la surface minimale de tôle $S(r_0)$ et la hauteur optimale de la cuve $h = \frac{V}{\pi r_0^2}$.
Corrigé détaillé :
- 1. Calcul de la dérivée : $$S'(r) = 2\pi(2r) + 20\left(-\frac{1}{r^2}\right) = \mathbf{4\pi r - \frac{20}{r^2}}$$
- 2. Annulation de la dérivée : $$4\pi r - \frac{20}{r^2} = 0 \iff 4\pi r^3 = 20 \iff r^3 = \frac{20}{4\pi} = \frac{5}{\pi} \approx 1{,}59155$$ $$r_0 = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}} \approx \mathbf{1{,}17\text{ mètre}}$$
- 3. Variations : Pour $r < 1{,}17$, $S'(r) < 0$ (fonction décroissante). Pour $r > 1{,}17$, $S'(r) > 0$ (fonction croissante). Il s'agit bien d'un **minimum absolu**.
- 4. Dimensions finales :
• Surface minimale : $S(1{,}17) = 2\pi(1{,}17)^2 + \frac{20}{1{,}17} \approx 8{,}60 + 17{,}09 \approx \mathbf{25{,}69\text{ m}^2}$.
• Hauteur optimale : $h = \frac{10}{\pi \times (1{,}17)^2} \approx \mathbf{2{,}33\text{ mètres}} \approx 2r_0$ (le diamètre égale la hauteur).
Activité 3 : Rendement Thermique d'un Échangeur à Plaque
Le coefficient de performance $\text{COP}(x)$ d'une pompe à chaleur réversible en fonction du débit d'eau glycolée $x$ (en $\text{m}^3/\text{h}$, pour $x \in [1 ; 6]$) est modélisé par : $$\text{COP}(x) = -0{,}3x^2 + 2{,}4x + 0{,}2$$
- Calculer la dérivée $\text{COP}'(x)$.
- Déterminer pour quel débit le coefficient de performance est maximal. Calculer ce COP maximal.
Corrigé détaillé :
- 1. Dérivée : $\text{COP}'(x) = -0{,}3(2x) + 2{,}4 = \mathbf{-0{,}6x + 2{,}4}$.
- 2. Débit optimal : $-0{,}6x + 2{,}4 = 0 \iff 0{,}6x = 2{,}4 \iff x = \mathbf{4\text{ m}^3/\text{h}}$.
$\text{COP}(4) = -0{,}3(16) + 2{,}4(4) + 0{,}2 = -4{,}8 + 9{,}6 + 0{,}2 = \mathbf{5{,}00}$.