Fiche de Travaux Dirigés : Statistiques à une variable
Compétences mathématiques du programme officiel (Cycle 4 • 3PM)
Socle CommunExtraire les informations utiles d'un document.
(D2-D4)Traduire une situation réelle en langage statistique.
(D1-D2-D4)Tracer diagrammes en bâtons, circulaires et histogrammes.
(D1-D4-D5)Résoudre des problèmes et défendre un résultat.
(D2-D3-D4)Calculer fréquences, moyennes, médiane et étendue.
(D1-D4)Expliquer sa démarche et commenter les données.
(D1-D3)Partie 1 : Application directe des fondamentaux du cours
Exercice 1 Vocabulaire statistique & Tableau de fréquences (Enquête Transports)
Un sondage est réalisé auprès de 120 élèves de 3ème Prépa Métiers d'un lycée professionnel pour étudier leur principal mode de déplacement pour se rendre au lycée :
- Bus : 48 élèves
- Train / TER : 30 élèves
- Deux-roues (Vélo / Scooter) : 18 élèves
- À pied : 12 élèves
- Voiture (Accompagné) : 12 élèves
Questions :
- Précisez la population étudiée et le caractère étudié. Ce caractère est-il qualitatif ou quantitatif ?
- Quel est l'effectif total $N$ de cette étude ?
- Recopiez et complétez le tableau d'effectifs et de fréquences ci-dessous :
| Moyen de transport | Bus | Train | Deux-roues | À pied | Voiture | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Fréquence décimale ($f_i$) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Fréquence (%) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
- Quel est le pourcentage d'élèves empruntant un transport en commun (Bus ou Train) ?
Corrigé détaillé - Exercice 1 :
- Population : Les 120 élèves de 3PM interrogés.
Caractère : Moyen de transport utilisé. C'est un caractère qualitatif (non numérique). - Effectif total : $N = 48 + 30 + 18 + 12 + 12 = 120$ élèves.
- Tableau complété :
- Bus : $f_i = 48 / 120 = 0,40 = 40\%$
- Train : $f_i = 30 / 120 = 0,25 = 25\%$
- Deux-roues : $f_i = 18 / 120 = 0,15 = 15\%$
- À pied : $f_i = 12 / 120 = 0,10 = 10\%$
- Voiture : $f_i = 12 / 120 = 0,10 = 10\%$
- Total : Fréquence décimale = $1,00$ ; Fréquence = $100\%$.
- Transports en commun : $40\% + 25\% = 65\%$ des élèves utilisent le bus ou le train.
Exercice 2 Calcul de moyennes simples et pondérées (Atelier d'usinage)
Lors d'un contrôle pratique de fabrication mécanique, les 15 élèves d'un groupe d'atelier ont obtenu les notes suivantes (sur 20) :
Questions :
- Organisez ces données sous la forme d'un tableau à deux lignes : Note ($x_i$) et Effectif ($n_i$).
- Calculez la note moyenne de la classe ($\bar{x}$) en détaillant la formule de la moyenne pondérée : $$\bar{x} = \frac{\sum (n_i \times x_i)}{N}$$ Arrondir le résultat au dixième.
- Le professeur considère que l'évaluation est réussie si la moyenne du groupe est au moins égale à $12,5 / 20$. Est-ce le cas ici ? Justifiez.
Corrigé détaillé - Exercice 2 :
- Tableau ordonné :
Note $x_i$ 8 9 11 12 14 15 16 Total Effectif $n_i$ 2 1 2 2 4 2 2 15 - Calcul de la moyenne pondérée : $$\bar{x} = \frac{(8 \times 2) + (9 \times 1) + (11 \times 2) + (12 \times 2) + (14 \times 4) + (15 \times 2) + (16 \times 2)}{15}$$ $$\bar{x} = \frac{16 + 9 + 22 + 24 + 56 + 30 + 32}{15} = \frac{189}{15} = 12,6 / 20$$
- Conclusion : Oui, l'évaluation est réussie car la moyenne de la classe ($12,6$) est supérieure au seuil fixé de $12,5 / 20$.
Exercice 3 Médiane et Étendue (Séries de taille paire et impaire)
Série A • Temps de réaction en karting (Effectif impair $N=9$)
Voici 9 temps de réaction (en secondes) mesurés lors d'un entraînement sur piste :
0,42 s • 0,38 s • 0,55 s • 0,35 s • 0,40 s • 0,48 s • 0,36 s • 0,45 s • 0,39 s
Série B • Masses de colis en logistique (Effectif pair $N=10$)
Voici les masses (en kg) de 10 colis réceptionnés sur un quai de déchargement :
14,2 kg • 15,0 kg • 12,8 kg • 18,5 kg • 13,5 kg • 14,8 kg • 16,1 kg • 12,5 kg • 17,0 kg • 14,6 kg
Questions :
- Pour la Série A :
- Rangez la série dans l'ordre croissant.
- Déterminez la valeur médiane $Me_A$. Rédigez une phrase expliquant sa signification.
- Calculez l'étendue $e_A$ de cette série.
- Pour la Série B :
- Rangez la série dans l'ordre croissant.
- Déterminez la valeur médiane $Me_B$ (moyenne des deux valeurs centrales).
- Calculez l'étendue $e_B$ de cette série.
Corrigé détaillé - Exercice 3 :
1. Série A ($N=9$, impair) :
- Série ordonnée : 0,35 ; 0,36 ; 0,38 ; 0,39 ; 0,40 ; 0,42 ; 0,45 ; 0,48 ; 0,55.
- Le rang de la médiane est $\frac{9+1}{2} = 5^{\text{ème}}$ valeur. Donc $Me_A = 0,40\text{ s}$.
Signification : Au moins 50% des pilotes ont un temps de réaction inférieur ou égal à 0,40 seconde. - Étendue : $e_A = \text{Max} - \text{Min} = 0,55 - 0,35 = 0,20\text{ s}$.
2. Série B ($N=10$, pair) :
- Série ordonnée : 12,5 ; 12,8 ; 13,5 ; 14,2 ; 14,6 ; 14,8 ; 15,0 ; 16,1 ; 17,0 ; 18,5.
- $N=10$. La médiane est la moyenne entre la 5ème (14,6) et la 6ème (14,8) valeur : $$Me_B = \frac{14,6 + 14,8}{2} = 14,7\text{ kg}$$
- Étendue : $e_B = 18,5 - 12,5 = 6,0\text{ kg}$.
Partie 2 : Calculs, représentations graphiques & analyse
Exercice 4 Calculs & Diagramme en Bâtons (Sécurité au laboratoire)
Un responsable de laboratoire enregistre les notes d'évaluation sur les règles de sécurité obtenues par 30 élèves de 3PM :
| Note sur 20 ($x_i$) | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 | 30 |
Questions :
- Calcul : Calculez la note moyenne $\bar{x}$ obtenue par les élèves à ce test de sécurité.
- Construction graphique (REPRÉSENTER) : Sur le repère quadrillé ci-dessous, construisez le diagramme en bâtons représentant cette série statistique.
- Analyse : Déterminez la note médiane de la classe et l'étendue des notes.
Espace de tracé pour le diagramme en bâtons :
Corrigé détaillé - Exercice 4 :
- Note moyenne : $\bar{x} = \frac{(10\times 3) + (12\times 6) + (14\times 12) + (16\times 6) + (18\times 3)}{30} = \frac{30 + 72 + 168 + 96 + 54}{30} = \frac{420}{30} = 14 / 20$.
- Tracé du diagramme : Les bâtons ont des hauteurs de 3, 6, 12, 6 et 3 respectivement.
- Médiane & Étendue : $N=30$. La 15e et 16e note sont 14. La médiane est $14 / 20$.
Étendue : $e = 18 - 10 = 8\text{ points}$.
Exercice 5 Calculs d'Angles & Diagramme Circulaire (Ventes en boulangerie)
Un artisan boulanger enregistre la répartition des 200 ventes de sa matinée selon la catégorie de produit :
- Baguettes : 90 articles
- Viennoiseries : 60 articles
- Pâtisseries : 30 articles
- Sandwichs : 20 articles
Questions :
- Calculs : Complétez le tableau ci-dessous en calculant la fréquence (%) et l'angle au centre ($\alpha$ en degrés) pour chaque produit ($\text{Angle } \alpha = \text{Fréquence } f \times 360^\circ$).
- Construction graphique (REPRÉSENTER) : Sur le cercle repère ci-dessous muni de son rayon d'origine, tracez au rapporteur les 4 secteurs angulaires et ajoutez la légende.
- Communication : Quel produit représente près de la moitié ($45\%$) du chiffre de la matinée ?
| Catégorie | Baguettes | Viennoiseries | Pâtisseries | Sandwichs | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | ... | ... | ... | ... | ... |
| Fréquence (%) | ... | ... | ... | ... | ... |
| Angle $\alpha$ (degrés) | ... | ... | ... | ... | ... |
Cercle repère pour le tracé au rapporteur :
Corrigé détaillé - Exercice 5 :
- Tableau complété :
- Baguettes : Fréquence = $45\%$ ; Angle = $0,45 \times 360^\circ = 162^\circ$.
- Viennoiseries : Fréquence = $30\%$ ; Angle = $0,30 \times 360^\circ = 108^\circ$.
- Pâtisseries : Fréquence = $15\%$ ; Angle = $0,15 \times 360^\circ = 54^\circ$.
- Sandwichs : Fréquence = $10\%$ ; Angle = $0,10 \times 360^\circ = 36^\circ$.
- Tracé : Les 4 secteurs mesurent respectivement $162^\circ$, $108^\circ$, $54^\circ$ et $36^\circ$.
- Communication : Ce sont les Baguettes ($45\%$) qui représentent l'essentiel des ventes.
Exercice 6 Groupement en classes & Histogramme (Contrôle usine)
Dans un atelier de mécanique de précision, 40 pièces ont été contrôlées et regroupées en classes d'amplitude 1 mm :
| Longueur $L$ (mm) | [48 ; 49[ | [49 ; 50[ | [50 ; 51[ | [51 ; 52[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 4 | 14 | 18 | 4 | 40 |
Questions :
- Calcul : Déterminez le centre de classe $x_i$ de chaque intervalle et calculez la longueur moyenne $\bar{x}$ des pièces.
- Construction graphique (REPRÉSENTER) : Construisez l'histogramme de cette série sur le repère gradué ci-dessous.
- Analyse : Identifiez la classe médiane et calculez le pourcentage de pièces conformes (longueur dans $[49 ; 51[$).
Repère pour l'histogramme :
Corrigé détaillé - Exercice 6 :
- Centres & Moyenne : Centres : 48,5 ; 49,5 ; 50,5 ; 51,5.
$\bar{x} = \frac{(4\times 48,5) + (14\times 49,5) + (18\times 50,5) + (4\times 51,5)}{40} = \frac{2002}{40} = 50,05\text{ mm}$. - Histogramme : 4 rectangles accolés sur les intervalles $[48;49[$, $[49;50[$, $[50;51[$, $[51;52[$ de hauteurs 4, 14, 18, 4.
- Médiane & Conformité : Classe médiane : $[50 ; 51[$. Pièces conformes dans $[49 ; 51[$ : $14 + 18 = 32$ pièces, soit $80\%$.
Partie 3 : Problèmes métiers & Contextes professionnels (3PM)
Problème 7 Restauration Collective • Contrôle de la masse des portions
Le chef gérant d'une cantine scolaire contrôle la régularité des portions de dinde servies. La norme prescrite est de 120 g par portion, avec une tolérance de $\pm 10\text{ g}$ (portions conformes si leur masse appartient à $[110 ; 130[$).
Un échantillon de 50 portions est pesé :
| Masse de la portion (en g) | [90 ; 100[ | [100 ; 110[ | [110 ; 120[ | [120 ; 130[ | [130 ; 140[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 2 | 5 | 22 | 18 | 3 | 50 |
Questions :
- Calculez la masse moyenne $\bar{x}$ d'une portion servie (en utilisant les centres de classe).
- Déterminez l'effectif des portions hors-normes (masse $< 110\text{ g}$ ou $\ge 130\text{ g}$).
- Calculez le pourcentage de portions hors-normes dans l'échantillon.
- Le cahier des charges autorise un maximum de $15\%$ de portions hors-normes. L'objectif de qualité est-il atteint ? Des réglages de la trancheuse sont-ils nécessaires ?
Corrigé détaillé - Problème 7 :
- Masse moyenne : Centres : 95, 105, 115, 125, 135. $$\sum n_i x_i = (2 \times 95) + (5 \times 105) + (22 \times 115) + (18 \times 125) + (3 \times 135) = 190 + 525 + 2530 + 2250 + 405 = 5900\text{ g}$$ $$\bar{x} = \frac{5900}{50} = 118\text{ g}$$
- Effectif hors-normes : $< 110\text{ g}$ ($2 + 5 = 7$) et $\ge 130\text{ g}$ ($3$), soit $7 + 3 = 10$ portions.
- Pourcentage : $\frac{10}{50} \times 100 = 20\%$.
- Conclusion : Non, l'objectif n'est pas atteint car $20\% > 15\%$. Il est nécessaire de régler la trancheuse pour réduire les portions trop légères.
Problème 8 Logistique & Transport • Éco-conduite et consommation de carburant
Une entreprise de livraison fait suivre une formation d'éco-conduite à ses 20 chauffeurs. Le responsable de parc enregistre la consommation moyenne de carburant (en L/100 km) de chaque véhicule avant et après la formation sur un trajet identique :
Série 1 (Avant le stage) :
8,5 • 9,2 • 10,1 • 8,8 • 9,5 • 11,0 • 9,0 • 8,6 • 9,8 • 10,5 • 9,1 • 8,9 • 9,6 • 10,2 • 8,7 • 9,4 • 10,8 • 9,0 • 9,3 • 10,0
Série 2 (Après le stage) :
7,6 • 8,0 • 8,8 • 7,9 • 8,2 • 9,4 • 8,1 • 7,7 • 8,5 • 9,0 • 8,0 • 7,8 • 8,4 • 8,9 • 7,8 • 8,3 • 9,2 • 8,0 • 8,1 • 8,6
Questions :
- Calculez la consommation moyenne $\bar{x}_1$ (avant) et $\bar{x}_2$ (après). Arrondir au centième.
- Déterminez la médiane $Me_1$ (avant) et $Me_2$ (après).
- Calculez l'étendue $e_1$ (avant) et $e_2$ (après).
- Rapport de synthèse : Rédigez 3 à 4 lignes d'analyse démontrant l'efficacité financière et écologique de cette formation pour la direction.
Corrigé détaillé - Problème 8 :
- Moyennes :
$\bar{x}_1 = \frac{188,8}{20} = 9,44\text{ L/100 km}$.
$\bar{x}_2 = \frac{166,6}{20} = 8,33\text{ L/100 km}$. (Gain moyen = $1,11\text{ L/100 km}$). - Médianes ($N=20$) :
Avant : Moyenne de la 10e (9,3) et 11e (9,4) valeur $\to Me_1 = 9,35\text{ L/100 km}$.
Après : Moyenne de la 10e (8,1) et 11e (8,2) valeur $\to Me_2 = 8,15\text{ L/100 km}$. - Étendues :
$e_1 = 11,0 - 8,5 = 2,5\text{ L/100 km}$.
$e_2 = 9,4 - 7,6 = 1,8\text{ L/100 km}$. - Synthèse : La formation est un franc succès. La consommation moyenne baisse de $1,11\text{ L/100 km}$ (soit une réduction de près de $12\%$). La réduction de l'étendue (de $2,5$ à $1,8$) montre que les conduites brutes des chauffeurs les plus gourmands ont été corrigées.
Problème 9 Bâtiment & Travaux Publics • Essai de résistance d'un béton
Sur un chantier de construction d'un bâtiment industriel, le bureau d'études exige un béton à haute résistance. 50 éprouvettes cylindriques sont prélevées et écrasées à 28 jours à la presse hydraulique pour mesurer leur résistance à la compression $R$ (en MPa) :
| Résistance $R$ (en MPa) | [20 ; 25[ | [25 ; 30[ | [30 ; 35[ | [35 ; 40[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 5 | 20 | 20 | 5 | 50 |
Questions :
- Calculez la résistance moyenne $\bar{R}$ du béton coulé.
- Déterminez la classe médiane.
- Cahier des charges : Le béton est accepté si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- Condition 1 : La résistance moyenne $\bar{R}$ doit être d'au moins $29,0\text{ MPa}$.
- Condition 2 : Au moins $85\%$ des éprouvettes doivent présenter une résistance $\ge 25\text{ MPa}$.
Corrigé détaillé - Problème 9 :
- Moyenne : Centres : 22,5 ; 27,5 ; 32,5 ; 37,5. $$\sum n_i x_i = (5 \times 22,5) + (20 \times 27,5) + (20 \times 32,5) + (5 \times 37,5) = 112,5 + 550 + 650 + 187,5 = 1500\text{ MPa}$$ $$\bar{R} = \frac{1500}{50} = 30,0\text{ MPa}$$
- Classe médiane : La 25e et 26e éprouvette se situent dans la classe $[25 ; 30[$.
- Validation du lot :
- Condition 1 : $\bar{R} = 30,0\text{ MPa} \ge 29,0\text{ MPa}$. (OK)
- Condition 2 : Éprouvettes $\ge 25\text{ MPa}$ : $20 + 20 + 5 = 45$ éprouvettes. Pourcentage = $\frac{45}{50} \times 100 = 90\% \ge 85\%$. (OK)
Partie 4 : Sujet d'approfondissement type Brevet (DNB)
Problème 10 Sujet type Brevet DNB • Contrôle de vitesse et sécurité routière
Lors d'une opération de contrôle de la sécurité routière en agglomération (zone limitée à 50 km/h), la police municipale a relevé la vitesse de 200 véhicules. Les résultats sont présentés ci-dessous :
| Vitesse $v$ (en km/h) | [40 ; 45[ | [45 ; 50[ | [50 ; 55[ | [55 ; 60[ | [60 ; 65[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de véhicules ($n_i$) | 30 | 90 | 50 | 20 | 10 | 200 |
Questions :
1. Lecture et vocabulaire (Chercher) :
- Quelle est la vitesse minimale théorique d'un véhicule comptabilisé dans ce contrôle ?
- Combien de véhicules roulaient à une vitesse strictement inférieure à la limite autorisée de 50 km/h ?
2. Calcul des indicateurs statistiques (Calculer / Raisonner) :
- Calculez la vitesse moyenne $\bar{v}$ des véhicules contrôlés (en utilisant les centres de classe).
- Déterminez la classe médiane de cette série. Rédigez une phrase d'interprétation.
- Calculez l'étendue maximale théorique de cette série de vitesses.
3. Construction graphique (REPRÉSENTER) :
- Sur le repère orthogonal gradué ci-dessous, construisez l'histogramme représentant la répartition des vitesses enregistrées par la police.
Repère pour l'histogramme des vitesses (DNB) :
4. Analyse de sécurité et décision (Communiquer / Raisonner) :
- Tout véhicule roulant à $50\text{ km/h}$ ou plus est en infraction. Quel est le pourcentage de conducteurs en infraction ?
- Les véhicules roulant à $60\text{ km/h}$ ou plus commettent un grand excès de vitesse en agglomération. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
- Synthèse pour la mairie : Au vu de ces résultats, le maire hésite à aménager un ralentisseur (dos d'âne). Rédigez un paragraphe de 3 à 4 lignes argumentant la décision à prendre.
Corrigé détaillé - Sujet type Brevet :
1. Lecture :
a. Vitesse minimale théorique : $40\text{ km/h}$.
b. Véhicules $< 50\text{ km/h}$ : $30 + 90 = 120$ véhicules.
2. Indicateurs :
a. Centres : 42,5 ; 47,5 ; 52,5 ; 57,5 ; 62,5.
$$\sum n_i x_i = (30 \times 42,5) + (90 \times 47,5) + (50 \times 52,5) + (20 \times 57,5) + (10 \times 62,5) = 1275 + 4275 + 2625 + 1150 + 625 = 9950\text{ km/h}$$
$$\bar{v} = \frac{9950}{200} = 49,75\text{ km/h}$$
b. Classe médiane : $N=200$. La 100e et 101e valeur se situent dans la classe $[45 ; 50[$.
Interprétation : Au moins 50% des usagers roulent à moins de 50 km/h.
c. Étendue max : $65 - 40 = 25\text{ km/h}$.
3. Histogramme : 5 rectangles accolés sur les intervalles de vitesses de hauteurs respectives 30, 90, 50, 20 et 10.
4. Synthèse argumentée :
a. Conducteurs en infraction ($\ge 50\text{ km/h}$) : $50 + 20 + 10 = 80$ véhicules, soit $\frac{80}{200} \times 100 = 40\%$.
b. Grands excès ($\ge 60\text{ km/h}$) : 10 véhicules, soit $\frac{10}{200} \times 100 = 5\%$.
c. Paragraphe d'analyse : Bien que la vitesse moyenne ($49,75\text{ km/h}$) reste inférieure à 50 km/h, $40\%$ des véhicules sont en infraction et $5\%$ commettent des excès dangereux ($>60\text{ km/h}$). L'aménagement d’un ralentisseur est donc fortement conseillé pour sécuriser cette zone urbaine.