Banque de 6 Sujets d'Annales DNB PRO : Statistiques à une variable
Modalités d'épreuve du Brevet PRO (Mathématiques - Durée : 2h00)
Spécial 3ème Prépa Métiers (20 Pts par sujet)Sécurité Routière & Contrôle de Vitesse en Agglomération
Lors d'une opération de contrôle de sécurité routière en agglomération (zone limitée à 50 km/h), la police municipale a mesuré la vitesse de 200 véhicules. Les résultats sont synthétisés dans le tableau ci-dessous :
| Vitesse $v$ (en km/h) | [40 ; 45[ | [45 ; 50[ | [50 ; 55[ | [55 ; 60[ | [60 ; 65[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 30 | 90 | 50 | 20 | 10 | 200 |
Questions :
-
Lecture et vocabulaire : [4 points]
a. Quelle est la vitesse minimale théorique d'un véhicule comptabilisé dans cette étude ?
b. Combien de véhicules roulaient à une vitesse strictement inférieure à la limite autorisée de 50 km/h ? -
Calcul de la vitesse moyenne : [5 points]
Déterminez le centre de classe de chaque intervalle puis calculez la vitesse moyenne $\bar{v}$ des 200 véhicules contrôlés.
-
Classe médiane et étendue : [5 points]
a. Dans quelle classe se situe la vitesse médiane ? Rédigez une phrase expliquant la signification de ce résultat.
b. Calculez l'étendue maximale théorique de cette série de vitesses. -
Analyse de sécurité & Prise de décision : [6 points]
a. Tout véhicule roulant à $50\text{ km/h}$ ou plus est en infraction. Quel est le pourcentage de conducteurs en infraction ?
b. Les véhicules à $60\text{ km/h}$ ou plus commettent un grand excès de vitesse. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
c. Le maire hésite à implanter un ralentisseur. Rédigez une synthèse de 3 à 4 lignes argumentant la décision à prendre.
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 1 (20 Points) :
1. Lecture :
a. Vitesse minimale théorique : $40\text{ km/h}$ (borne inférieure de $[40;45[$). [2 pts]
b. Nombre de véhicules $< 50\text{ km/h}$ : $30 + 90 = 120$ véhicules. [2 pts]
2. Vitesse moyenne :
Centres : 42,5 ; 47,5 ; 52,5 ; 57,5 ; 62,5. [2 pts]
$$\sum n_i x_i = (30 \times 42,5) + (90 \times 47,5) + (50 \times 52,5) + (20 \times 57,5) + (10 \times 62,5) = 9950\text{ km/h}$$
$$\bar{v} = \frac{9950}{200} = 49,75\text{ km/h} \quad \text{\textit{[3 pts]}}$$
3. Médiane & Étendue :
a. $N=200$. La 100e et 101e valeur se situent dans la classe $[45 ; 50[$. [2 pts]
Interprétation : Au moins 50% des usagers contrôlés roulaient à moins de 50 km/h. [1 pt]
b. Étendue max : $65 - 40 = 25\text{ km/h}$. [2 pts]
4. Analyse & Synthèse :
a. Infractions ($\ge 50\text{ km/h}$) : $50 + 20 + 10 = 80$ véhicules, soit $\frac{80}{200} \times 100 = 40\%$. [2 pts]
b. Grands excès ($\ge 60\text{ km/h}$) : 10 véhicules, soit $\frac{10}{200} \times 100 = 5\%$. [2 pts]
c. Synthèse : Même si la moyenne ($49,75\text{ km/h}$) est sous la limite de 50 km/h, $40\%$ des conducteurs sont en infraction et $5\%$ en grand excès. L'installation d'un ralentisseur est vivement conseillée. [2 pts]
Épreuve d'EPS & Test de VMA en 3ème
Un professeur d'EPS réalise un test de Vitesse Maximale Aérobie (VMA en km/h) auprès des 24 élèves d'une classe de 3ème Prépa Métiers. Les séries brutes de résultats sont les suivantes :
Série Filles (12 élèves) :
13,5 • 12,0 • 11,0 • 9,0 • 12,5 • 9,5 • 12,0 • 11,5 • 12,0 • 11,5 • 12,0 • 10,5
Série Garçons (12 élèves) :
12,0 • 14,0 • 14,0 • 11,0 • 12,0 • 12,0 • 11,0 • 13,5 • 14,5 • 14,0 • 15,0 • 14,0
Questions :
-
Calcul de VMA moyenne : [5 points]
Calculez la VMA moyenne des filles ($\bar{x}_F$) et celle des garçons ($\bar{x}_G$). Arrondir au centième.
-
Comparaison des étendues : [5 points]
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifiez par des calculs rédigés :
"L'étendue des VMA chez les filles est supérieure à celle des garçons." -
Calcul de pourcentage : [5 points]
Quel est le pourcentage d'élèves de l'ensemble de la classe ayant une $\text{VMA} \le 11,5\text{ km/h}$ ? L'affirmation "Plus de 25% de la classe a une VMA $\le 11,5\text{ km/h}$" est-elle exacte ?
-
Classement individuel : [5 points]
Lisa a obtenu une VMA de $12,0\text{ km/h}$. Son camarade affirme : "Lisa fait partie des 12 meilleures VMA de la classe." A-t-il raison ? Justifiez en ordonnant les données nécessaires.
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 2 (20 Points) :
1. VMA moyennes :
Filles : $\text{Somme} = 137 \to \bar{x}_F = \frac{137}{12} \approx 11,42\text{ km/h}$. [2,5 pts]
Garçons : $\text{Somme} = 157 \to \bar{x}_G = \frac{157}{12} \approx 13,08\text{ km/h}$. [2,5 pts]
2. Étendues :
Étendue filles : $e_F = 13,5 - 9,0 = 4,5\text{ km/h}$. [2 pts]
Étendue garçons : $e_G = 15,0 - 11,0 = 4,0\text{ km/h}$. [2 pts]
Conclusion : VRAI, car $4,5 > 4,0\text{ km/h}$. [1 pt]
3. Pourcentage VMA $\le 11,5$ :
Élèves avec VMA $\le 11,5$ : Filles (6 élèves) + Garçons (2 élèves) = 8 élèves. [2,5 pts]
Pourcentage : $\frac{8}{24} \times 100 = 33,33\%$. Comme $33,33\% > 25\%$, l'affirmation est VRAIE. [2,5 pts]
4. Rang de Lisa (VMA = 12 km/h) :
Élèves avec VMA $> 12\text{ km/h}$ : 9 élèves. Élèves avec VMA $= 12\text{ km/h}$ : 7 élèves (dont Lisa). Lisa est ex-æquo au 10e rang, elle fait bien partie des 12 meilleurs. L'affirmation est VRAIE. [5 pts]
Contrôle Qualité Agricole & Histogramme
Dans le cadre d'un contrôle de calibrage agricole avant commercialisation, un exploitant pèse 40 sacs de pommes. Les résultats sont regroupés par classes d'amplitude 0,5 kg :
| Masse du sac $M$ (en kg) | [1,5 ; 2,0[ | [2,0 ; 2,5[ | [2,5 ; 3,0[ | [3,0 ; 3,5[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 5 | 15 | 15 | 5 | 40 |
Questions :
-
Calcul de la masse moyenne : [6 points]
Déterminez le centre de classe de chaque intervalle puis calculez la masse moyenne $\bar{M}$ d'un sac de pommes.
-
Construction graphique (REPRÉSENTER) : [8 points]
Sur le repère gradué ci-dessous, construisez l'histogramme représentant la répartition des masses des sacs de la récolte.
Repère gradué pour l'histogramme DNB PRO :
-
Analyse de la médiane & Conformité : [6 points]
a. Déterminez la classe médiane de cette série.
b. Les sacs pesant entre 2,0 kg et 3,0 kg sont vendus au tarif supérieur "Catégorie A". Quel pourcentage des sacs cela représente-t-il ?
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 3 (20 Points) :
1. Masse moyenne : Centres : 1,75 ; 2,25 ; 2,75 ; 3,25. [2 pts] $$\sum n_i x_i = (5 \times 1,75) + (15 \times 2,25) + (15 \times 2,75) + (5 \times 3,25) = 100\text{ kg} \to \bar{M} = \frac{100}{40} = 2,5\text{ kg} \quad \text{\textit{[4 pts]}}$$
2. Histogramme : 4 rectangles de largeurs 0,5 kg sur $[1,5;2,0[$, $[2,0;2,5[$, $[2,5;3,0[$, $[3,0;3,5[$ et de hauteurs 5, 15, 15, 5. [8 pts]
3. Médiane & Conformité :
a. $N=40$. La 20e et 21e valeur sont dans la classe $[2,0 ; 2,5[$. [3 pts]
b. Sacs en "Catégorie A" ($[2,0 ; 3,0[$) : $15 + 15 = 30$ sacs. Pourcentage = $\frac{30}{40} \times 100 = 75\%$. [3 pts]
Bâtiment BTP & Contrôle de Résistance du Béton
Pour la construction d'un bâtiment industriel, le bureau d'études contrôle la résistance à la compression de 50 éprouvettes cylindriques de béton prélevées lors du coulage :
| Résistance $R$ (en MPa) | [20 ; 25[ | [25 ; 30[ | [30 ; 35[ | [35 ; 40[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 5 | 20 | 20 | 5 | 50 |
Questions :
-
Calcul de la résistance moyenne : [6 points]
Déterminez le centre de classe de chaque intervalle et calculez la résistance moyenne $\bar{R}$ des éprouvettes en MPa.
-
Classe médiane et étendue : [5 points]
a. Dans quelle classe se situe la résistance médiane ?
b. Calculez l'étendue maximale de cette série. -
Construction graphique (REPRÉSENTER) : [5 points]
Sur le repère gradué fourni ci-dessous, construisez l'histogramme représentant cette série statistique.
Repère gradué pour l'histogramme BTP (DNB PRO) :
-
Validation du lot : [4 points]
Le lot est conforme si $\bar{R} \ge 29,0\text{ MPa}$ et si au moins $85\%$ des éprouvettes dépassent $25,0\text{ MPa}$. Validez-vous la qualité du béton ? Justifiez.
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 4 (20 Points) :
1. Moyenne : Centres : 22,5 ; 27,5 ; 32,5 ; 37,5. [2 pts]
$\sum n_i x_i = (5 \times 22,5) + (20 \times 27,5) + (20 \times 32,5) + (5 \times 37,5) = 1500\text{ MPa} \to \bar{R} = \frac{1500}{50} = 30,0\text{ MPa}$. [4 pts]
2. Médiane & Étendue : Classe médiane : $[25 ; 30[$ (25e/26e éprouvette). [3 pts]
Étendue max : $40 - 20 = 20\text{ MPa}$. [2 pts]
3. Histogramme : 4 rectangles de hauteurs respectives 5, 20, 20, 5. [5 pts]
4. Validation : $\bar{R} = 30,0\text{ MPa} \ge 29,0\text{ MPa}$ (OK). Éprouvettes $\ge 25\text{ MPa}$ : $20 + 20 + 5 = 45$, soit $\frac{45}{50} \times 100 = 90\% \ge 85\%$ (OK). Le lot est validé. [4 pts]
Restauration Collective & Sécurité Sanitaire
Dans une cuisine centrale, un contrôleur sanitaire relève la température (en °C) de 30 plats cuisinés stockés en chambre froide :
Questions :
-
Tableau de regroupement par tranches : [5 points]
Regroupez ces 30 températures dans le tableau ci-dessous :
Tranche (°C) [1 ; 3[ [3 ; 5[ [5 ; 7[ [7 ; 9[ Total Effectif ($n_i$) ... ... ... ... 30 -
Moyenne et Étendue : [5 points]
Calculez la température moyenne $\bar{T}$ de la chambre froide et l'étendue de la série brute.
-
Détermination de la Médiane : [4 points]
Déterminez la température médiane $Me$ et rédigez une phrase expliquant ce résultat.
-
Contrôle sanitaire et décision : [6 points]
La norme sanitaire impose une température strictement $\le 5,0\text{ }^\circ\text{C}$. Quel est le pourcentage de plats hors-normes ? Quelle décision doit prendre le chef gérant ?
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 5 (20 Points) :
1. Tableau : $[1; 3[$ : 10 plats • $[3; 5[$ : 16 plats • $[5; 7[$ : 3 plats • $[7; 9[$ : 1 plat. Total = 30. [5 pts]
2. Moyenne & Étendue : $\text{Somme} = 102,0 \to \bar{T} = \frac{102,0}{30} = 3,4\text{ }^\circ\text{C}$. [3 pts]
Étendue : $7,0 - 1,5 = 5,5\text{ }^\circ\text{C}$. [2 pts]
3. Médiane : $N=30$. Moyenne entre la 15e ($3,2$) et 16e ($3,2$) valeur : $Me = 3,2\text{ }^\circ\text{C}$. 50% des plats sont conservés à moins de $3,2\text{ }^\circ\text{C}$. [4 pts]
4. Sanitaire : Plats $> 5,0\text{ }^\circ\text{C}$ : 2 plats ($6,5$ et $7,0$). Pourcentage : $\frac{2}{30} \times 100 \approx 6,67\%$. Les 2 plats doivent être isolés/jetés et le groupe froid contrôlé. [6 pts]
Logistique, Transport & Éco-conduite
Le directeur d'une société de livraison étudie l'impact d'un stage d'éco-conduite sur les consommations de carburant (en L/100 km) de ses 20 véhicules utilitaires :
Avant la formation : Moyenne $\bar{x}_1 = 9,44\text{ L/100 km}$, Médiane $Me_1 = 9,35\text{ L/100 km}$, Étendue $e_1 = 2,50\text{ L/100 km}$.
Après la formation (données brutes) :
7,6 • 8,0 • 8,8 • 7,9 • 8,2 • 9,4 • 8,1 • 7,7 • 8,5 • 9,0 • 8,0 • 7,8 • 8,4 • 8,9 • 7,8 • 8,3 • 9,2 • 8,0 • 8,1 • 8,6
Questions :
-
Consommation moyenne après formation : [5 points]
Calculez la consommation moyenne $\bar{x}_2$ de la flotte après le stage d'éco-conduite. Quel est le gain moyen en L/100 km ?
-
Médiane et Étendue après formation : [5 points]
Rangez les données après stage et déterminez la médiane $Me_2$ ainsi que l'étendue $e_2$.
-
Calcul des économies annuelles : [5 points]
Si la flotte parcourt au total $100\text{ }000\text{ km}$ par an, combien de litres de carburant sont économisés grâce au stage ?
-
Rapport de synthèse pour la direction : [5 points]
Rédigez un paragraphe de 3 à 4 lignes analysant l'efficacité écologique et financière de la formation.
Corrigé rédigé & Barème détaillé DNB PRO - Sujet 6 (20 Points) :
1. Moyenne après stage : $\text{Somme} = 166,6 \to \bar{x}_2 = \frac{166,6}{20} = 8,33\text{ L/100 km}$. Gain = $9,44 - 8,33 = 1,11\text{ L/100 km}$. [5 pts]
2. Médiane & Étendue : Série ordonnée $\to$ 10e (8,1) et 11e (8,2) valeur $\to Me_2 = 8,15\text{ L/100 km}$. [3 pts]
Étendue : $e_2 = 9,4 - 7,6 = 1,80\text{ L/100 km}$. [2 pts]
3. Économie annuelle : Pour $100\text{ }000\text{ km}$, l'économie est de $1,11 \times 1\text{ }000 = 1\text{ }110\text{ Litres}$ de carburant par an. [5 pts]
4. Synthèse : La formation est très rentable : diminution de la consommation moyenne de près de $12\%$ ($1\text{ }110\text{ L}$ économisés) et resserrement des conduites (étendue réduite de $2,5$ à $1,8$). [5 pts]