Fiche de Cours : Statistiques à une variable
Formules officielles d'abord, puis exemples d'application contextualisés et rédigés pas à pas.
Vocabulaire, Effectifs et Fréquences
Population & Caractère
• Population : Ensemble des individus ou objets étudiés (ex: les 40 élèves d'un niveau 3ème).
• Caractère : Propriété observée sur chaque individu (ex: mode de transport, note, âge).
• Type de caractère : Qualitatif (non numérique, ex: mode de transport) ou Quantitatif (numérique, ex: note, taille).
Effectif & Effectif Total
• Effectif d'une valeur ($n_i$) : Nombre de fois où cette valeur apparaît dans la population.
• Effectif total ($N$) : Nombre total d'individus observés : $$N = n_1 + n_2 + ... + n_k$$
Formule officielle de la Fréquence ($f_i$)
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif $n_i$ par l'effectif total $N$ :
Propriété fondamentale : La somme de toutes les fréquences décimales vaut toujours $1$. La somme des fréquences en pourcentage vaut toujours $100\,\%$.
Exemple d'application : Mode de déplacement de 40 élèves
| Mode de transport | Bus | À pied | Vélo / Trot. | Voiture | Total ($N$) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 20 | 10 | 6 | 4 | 40 |
| Fréquence décimale ($f_i$) | $\frac{20}{40} = 0,50$ | $\frac{10}{40} = 0,25$ | $\frac{6}{40} = 0,15$ | $\frac{4}{40} = 0,10$ | 1,00 |
| Fréquence en % | 50 % | 25 % | 15 % | 10 % | 100 % |
Diagrammes et Histogrammes Illustrés
1. Le Diagramme en Bâtons (Caractères discrets)
Bâtons isolés & séparés
Chaque valeur de la série est représentée par un bâton vertical dont la hauteur est exactement proportionnelle à son effectif $n_i$.
Règle de tracé : Les bâtons sont strictement séparés par des espaces réguliers (ils ne se touchent jamais !).
• Bus ($n = 20$) : hauteur de 20 unités.
• À pied ($n = 10$) : hauteur de 10 unités.
• Vélo ($n = 6$) : hauteur de 6 unités.
• Voiture ($n = 4$) : hauteur de 4 unités.
2. Le Diagramme Circulaire & Calcul d'Angles
Secteurs angulaires en degrésChaque catégorie est représentée par une "part de gâteau" dont l'angle en degrés $\alpha_i$ est proportionnel à l'effectif ou au pourcentage.
• Bus ($50\,\%$) : $\alpha = 0,50 \times 360^\circ = \mathbf{180^\circ}$ (Demi-disque).
• À pied ($25\,\%$) : $\alpha = 0,25 \times 360^\circ = \mathbf{90^\circ}$ (Angle droit).
• Vélo ($15\,\%$) : $\alpha = 0,15 \times 360^\circ = \mathbf{54^\circ}$.
• Voiture ($10\,\%$) : $\alpha = 0,10 \times 360^\circ = \mathbf{36^\circ}$.
3. L'Histogramme (Caractères continuë par classes)
Rectangles ACCOLÉS par tranchesLorsque les données sont regroupées dans des intervalles continuës $[a ; b[$, on utilise un histogramme constitué de rectangles strictly accolés (sans espace séparateur !).
• Classe $[70 ; 80[$ ($8$ véh.) : amplitude $= 10\text{ km/h}$.
• Classe $[80 ; 90[$ ($16$ véh.) : amplitude $= 10\text{ km/h}$.
• Classe $[90 ; 100[$ ($6$ véh.) : amplitude $= 10\text{ km/h}$.
*Remarque : Les rectangles se touchent en 80 et 90 km/h car la vitesse est continue.*
La Moyenne et la Médiane
A. La Moyenne ($\bar{x}$) : Définition & Formules Officielles
La moyenne est le centre de gravité d'une série. Elle correspond au partage équitable de la somme totale entre tous les individus.
Exemples d'application rédigés pas à pas :
Résultats de 20 élèves à un contrôle de mathématiques : 3 élèves ont eu 8/20, 5 ont eu 10/20, 8 ont eu 12/20 et 4 ont eu 15/20.
• Effectif total : $N = 3 + 5 + 8 + 4 = \mathbf{20}$.
• Somme pondérée : $(3 \times 8) + (5 \times 10) + (8 \times 12) + (4 \times 15) = 24 + 50 + 96 + 60 = \mathbf{230}$.
• Moyenne : $$\bar{x} = \frac{230}{20} = \mathbf{11,5 \text{ / 20}}$$
Sujet : Un club de judo compte 30 adhérents répartis en 2 tranches d'âge :
• Tranche 1 : 10 jeunes âgés de $[10 ; 20[$ ans.
• Tranche 2 : 20 adultes âgés de $[20 ; 30[$ ans.
| Tranche d'âge $[a ; b[$ | Centre de classe ($c_i$) | Effectif ($n_i$) | Produit ($n_i \cdot c_i$) |
|---|---|---|---|
| $[10 ; 20[$ ans | $c_1 = \frac{10+20}{2} = \mathbf{15}$ ans | 10 pers. | $10 \times 15 = 150$ |
| $[20 ; 30[$ ans | $c_2 = \frac{20+30}{2} = \mathbf{25}$ ans | 20 pers. | $20 \times 25 = 500$ |
| Total | — | $N = 30$ | $\sum = 650$ |
Calcul rédigé de l'âge moyen :
$$\bar{x} = \frac{\sum (n_i \cdot c_i)}{N} = \frac{650}{30} \approx \mathbf{21,7 \text{ ans}}$$B. La Médiane ($Me$) : Règle & Méthode Officielle
La médiane est la valeur centrale qui partage une série impérativement rangée par ordre croissant en deux groupes d'effectifs égaux.
La médiane est exactement la valeur de rang $p + 1$ (valeur située au milieu exact de la liste rangée).
La médiane est la demi-somme des valeurs de rang $p$ et $p + 1$ (moyenne des deux valeurs centrales).
Exemples d'application rédigés pas à pas :
Considérons 7 notes brutes : 14, 8, 11, 15, 9, 12, 10.
1. Rangement croissant : 8 — 9 — 10 — 11 — 12 — 14 — 15.
2. Détermination du rang : $N = 7 = 3 + 1 + 3$. La médiane est au $4^{\text{ème}}$ rang.
3. Conclusion : $$Me = \mathbf{11 \text{ / 20}}$$
8 temps de course (en secondes) rangés : 12 — 14 — 15 — 16 — 18 — 19 — 20 — 22.
• Rangs centraux : $N = 8 = 2 \times 4$. Rangs 4ème (16s) et 5ème (18s).
• Demi-somme : $$Me = \frac{16 + 18}{2} = \frac{34}{2} = \mathbf{17 \text{ s}}$$
Conseil d'Inspecteur : Moyenne vs Médiane
La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes (valeurs très fortes ou très faibles). À l'inverse, la médiane est un indicateur robuste qui résiste aux valeurs aberrantes (ex: salaire moyen faussé par un très haut salaire).
L'Étendue et la Dispersion
L'étendue mesure l'écart maximal ou la dispersion globale d'une série statistique :
Exemples d'application rédigés pas à pas :
Voici les températures (°C) mesurées à midi pendant une semaine : 12, 15, 8, 22, 18, 14, 11.
• Température maximale ($x_{max}$) : $\mathbf{22\,^\circ\text{C}}$.
• Température minimale ($x_{min}$) : $\mathbf{8\,^\circ\text{C}}$.
• Calcul de l'étendue : $$\text{Étendue} = 22 - 8 = \mathbf{14\,^\circ\text{C}}$$
Un chef d'atelier compte les pièces défectueuses sur 5 jours :
• Machine A : 4, 5, 4, 6, 4 $\rightarrow \text{Étendue}_A = 6 - 4 = \mathbf{2 \text{ pièces}}$.
• Machine B : 1, 12, 3, 15, 2 $\rightarrow \text{Étendue}_B = 15 - 1 = \mathbf{14 \text{ pièces}}$.
Les 5 Règles d'Or pour Réussir son Épreuve de Brevet
Toujours préciser l'unité physique ou monétaire dans sa phrase de conclusion (€, km/h, min, mm).
Avant de chercher la médiane, réécrivez IMPÉRATIVEMENT la liste dans l'ordre croissant sur votre copie !
Contrôlez que la somme de vos fréquences calculées fait exactement 100%.
Utilisez le menu STAT de votre calculatrice (NumWorks, Casio, TI) pour vérifier vos calculs de moyenne et médiane.