Fiche de Travaux Dirigés : Probabilités & Événements
Compétences mathématiques du programme officiel (Cycle 4 • 3PM)
Socle CommunExtraire les informations d'une expérience.
(D2-D4)Reconnaître un modèle d'équiprobabilité.
(D1-D2-D4)Construire un arbre des possibles.
(D1-D4-D5)Calculer l'événement contraire $1-P$.
(D2-D3-D4)Exprimer les probabilités en fraction/décimal.
(D1-D4)Rédiger une conclusion professionnelle.
(D1-D3)Partie 1 : Application directe et définitions fondamentales
Exercice 1 Vocabulaire des probabilités et dénombrement des issues
Dans un sac opaque, on a placé 4 boules rouges, 6 boules bleues et 2 boules jaunes. On tire une boule au hasard.
- Combien d'issues cette expérience aléatoire comporte-t-elle au total ?
- S'agit-il d'une situation d'équiprobabilité entre les couleurs ? Justifiez.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? Donnez la réponse sous forme de fraction simplifiée puis décimale.
Corrigé détaillé - Exercice 1 :
- Nombre total d'issues : $4 + 6 + 2 = 12\text{ boules}$.
- Non, il n'y a pas équiprobabilité entre les couleurs car les effectifs par couleur sont différents (6 bleues, 4 rouges, 2 jaunes).
- $P(\text{Bleue}) = 6 / 12 = 1 / 2 = 0,5$.
Exercice 2 Probabilité simple & Lancer de dé à 6 faces
On lance un dé à 6 faces parfait. Calculez les probabilités des événements suivants (sous forme de fraction simplifiée) :
- Événement $A$ : "Obtenir le chiffre 5".
- Événement $B$ : "Obtenir un nombre pair (2, 4, 6)".
- Événement $C$ : "Obtenir un nombre strictement inférieur à 3".
Corrigé détaillé - Exercice 2 :
- $P(A) = 1 / 6$.
- $P(B) = 3 / 6 = 1 / 2$.
- Issues possibles pour $C$ : $\{1, 2\}$, soit 2 issues. $P(C) = 2 / 6 = 1 / 3$.
Exercice 3 Calcul de l'événement contraire $1 - P(A)$
La probabilité qu'un équipement informatique tombe en panne pendant sa première année est de $P(E) = 0,04$.
- Exprimez la probabilité de panne sous forme de pourcentage.
- Définissez l'événement contraire $\bar{E}$ en une phrase claire.
- Calculez la probabilité $P(\bar{E})$ que l'équipement fonctionne sans aucune panne.
Corrigé détaillé - Exercice 3 :
- $0,04 = 4\,\%$.
- $\bar{E}$ est l'événement : "L'équipement informatique fonctionne normalement sans tomber en panne".
- $P(\bar{E}) = 1 - 0,04 = 0,96$ (soit $96\,\%$).
Partie 2 : Problèmes sectoriels & Situations professionnelles
Exercice 4 Industrie & Contrôle Qualité de Pièces Usinées
Un technicien contrôle un lot de 200 roulements à billes. Il constate que :
- 180 roulements sont parfaitement conformes.
- 12 roulements ont un défaut d'ébarbage.
- 8 roulements ont un défaut de diamètre.
- Quelle est la probabilité de prélever un roulement conforme (en décimal et en %) ?
- Quelle est la probabilité de prélever un roulement présentant un défaut quelconque ?
Corrigé détaillé - Exercice 4 :
- $P(\text{Conforme}) = 180 / 200 = 0,90 = 90\,\%$.
- Roulements défectueux = $12 + 8 = 20$. $P(\text{Défectueux}) = 20 / 200 = 0,10 = 10\,\%$ (ou $1 - 0,90 = 0,10$).
Exercice 5 BTP & Prévention des Risques de Chantier
Sur un chantier de construction, les ouvriers portent tous un équipement de protection individuel (EPI) :
| Couleur du Casque | Blanc (Conducteur) | Jaune (Maçon) | Bleu (Électricien) | Rouge (Sécurité) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 15 | 8 | 2 |
- Calculez l'effectif total d'ouvriers sur le chantier.
- On choisit un ouvrier au hasard. Quelle est la probabilité qu'il porte un casque jaune ?
- Quelle est la probabilité qu'il ne porte pas de casque rouge ?
Corrigé détaillé - Exercice 5 :
- Effectif total = $5 + 15 + 8 + 2 = 30\text{ ouvriers}$.
- $P(\text{Jaune}) = 15 / 30 = 1 / 2 = 0,5$.
- $P(\text{Non Rouge}) = 1 - (2 / 30) = 28 / 30 = 14 / 15 \approx 0,933$.
Exercice 6 Éco-Gestion & Tirage au Sort de Stagiaires
Un responsable RH sélectionne 2 stagiaires consécutivement dans un groupe de 3 candidats A, B, C pour effectuer une présentation en entreprise.
- Listez tous les couples de stagiaires possibles si l'ordre compte (ex: AB, AC...).
- Quelle est la probabilité que le candidat A soit choisi dans le binôme ?
Corrigé détaillé - Exercice 6 :
- Couples possibles : $(A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A), (C,B)$, soit 6 issues.
- Couples contenant A : $(A,B), (A,C), (B,A), (C,A)$, soit 4 issues. $P = 4 / 6 = 2 / 3$.
Partie 3 : Tâches complexes et Sujets type Brevet PRO
Problème 7 Logistique & Lancer de 2 Dés en Jeu de Hasard
On lance deux dés à 6 faces et on additionne les 2 valeurs obtenues.
- Quelle est la somme minimale possible ? Et la somme maximale ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 12 ? (Fraction simplifiée).
Corrigé détaillé - Problème 7 :
- Somme minimale = $1+1 = 2$. Somme maximale = $6+6 = 12$.
- Il y a $6 \times 6 = 36$ issues au total. Seul le double $(6,6)$ donne 12. $P(\text{Somme}=12) = 1 / 36$.
Problème 8 Restauration & Tombola du Restaurant d'Application
Pour financer un voyage d'étude, la classe de 3PM vend 500 tickets de tombola. 10 tickets permettent de gagner un lot principal et 40 tickets un lot secondaire.
- Calculez la probabilité de gagner un lot (principal ou secondaire) pour 1 ticket acheté.
- Un client achète 5 tickets. Quelle est la probabilité qu'il ne gagne aucun lot avec son premier ticket ?
Corrigé détaillé - Problème 8 :
- Tickets gagnants = $10 + 40 = 50$. $P(\text{Gagner}) = 50 / 500 = 1 / 10 = 0,10 = 10\,\%$.
- $P(\text{Perdre 1er ticket}) = 1 - 0,10 = 0,90 = 90\,\%$.
Problème 9 Automobile & Diagnostic de Panne Électrique
Un mécanicien analyse les pannes de batteries sur un parc de 150 véhicules :
- 90 véhicules ont une batterie en parfait état.
- 45 véhicules ont une batterie à recharger.
- 15 véhicules ont une batterie hors d'usage à remplacer.
- Si on choisit un véhicule au hasard, quelle est la probabilité que sa batterie soit à remplacer ?
- Le mécanicien affirme que la probabilité d'avoir une batterie qui fonctionne (parfaite ou à recharger) est de $90\,\%$. A-t-il raison ? Justifiez.
Corrigé détaillé - Problème 9 :
- $P(\text{À remplacer}) = 15 / 150 = 1 / 10 = 0,10 = 10\,\%$.
- Oui, il a raison ! Véhicules fonctionnels = $90 + 45 = 135$. $P = 135 / 150 = 0,90 = 90\,\%$ (ou $1 - 0,10 = 0,90$).
Problème 10 Sujet type Brevet DNB PRO • Contrôle de Sécurité Industrielle
Un responsable QSE (Qualité Sécurité Environnement) étudie 1 000 extincteurs de secours d'une usine :
- 950 extincteurs sont prêts à l'emploi.
- 35 extincteurs nécessitent une recharge de pression.
- 15 extincteurs doivent être immédiatement réformés.
- Calculez la probabilité de prélever un extincteur prêt à l'emploi (en décimal et en %).
- Calculez la probabilité de prélever un extincteur non utilisable immédiatement (recharge ou réforme).
- La norme de sécurité exige que la proportion d'extincteurs non prêts soit inférieure à $6\,\%$. L'usine respecte-t-elle cette norme ? Justifiez avec précision.
Corrigé détaillé - Sujet type Brevet PRO :
- $P(\text{Prêt}) = 950 / 1\,000 = 0,95 = 95\,\%$.
- $P(\text{Non prêt}) = (35 + 15) / 1\,000 = 50 / 1\,000 = 0,05 = 5\,\%$.
- Conclusion : Oui, l'usine respecte parfaitement la norme car $5\,\% < 6\,\%$.