Fiche de Cours : Probabilités & Événements
Formules officielles d'abord, puis exemples d'application contextualisés et rédigés pas à pas.
Vocabulaire Aléatoire & Notion d'Équiprobabilité
Expérience Aléatoire & Issues
• Expérience aléatoire : Expérience dont les résultats dépendent du hasard. On connaît toutes les issues possibles mais pas celle qui va sortir.
• Issue : Un des résultats possibles (ex: obtenir la face 4 avec un dé).
• Événement : Ensemble constitué d'une ou plusieurs issues (ex: "Obtenir un chiffre impair").
Notion d'Équiprobabilité
Une expérience est en situation d'équiprobabilité lorsque toutes les issues possibles ont exactement la même chance de se produire (ex: dé non truqué, pièce équilibrée).
Dans ce cas, la probabilité d'un événement $A$ se calcule par :
Formule Officielle de la Probabilité (Modèle d'Équiprobabilité)
La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est toujours un nombre compris entre $0$ (impossible) et $1$ (certain) :
Une probabilité s'exprime sous trois formes équivalentes : en fraction simplifiée ($\frac{1}{2}$), en nombre décimal ($0,5$) ou en pourcentage ($50\,\%$).
Exemple d'application rédigé pas à pas : Tirage au sort dans un sac
Un sac opaque contient 3 billes rouges et 7 billes bleues. On tire une bille au hasard.
1. Détermination du nombre total d'issues
$$\text{Nombre total d'issues} = 3 + 7 = 10\text{ billes}$$
2. Calcul de la probabilité de tirer une bille rouge $P(R)$
$$P(R) = \frac{\text{Billes rouges}}{\text{Total}} = \frac{3}{10} = 0,3 = 30\,\%$$
3. Calcul de la probabilité de tirer une bille bleue $P(B)$
$$P(B) = \frac{\text{Billes bleues}}{\text{Total}} = \frac{7}{10} = 0,7 = 70\,\%$$
Fréquence Observée vs Probabilité Théorique (Loi des grands nombres)
Définition de la Fréquence Observée ($f$)
Lors d'une série de $N$ essais d'une expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement $A$ est :
Propriété essentielle (Loi des Grands Nombres) : Plus le nombre d'essais $N$ est grand (ex: 1 000 lancers), plus la fréquence observée $f$ se rapproche de la probabilité théorique $P(A)$.
Exemple d'application rédigé pas à pas : Simulation sur 1 000 lancers de pièce
La probabilité théorique d'obtenir "Pile" au lancer d'une pièce équilibrée est de $P = 0,5 = 50\,\%$. Un élève simule des lancers sur tableur :
1. Résultats observés selon le nombre d'essais $N$ :
- Sur 10 lancers : 7 Pile obtenus $\implies f = \frac{7}{10} = 0,70 = 70\,\%$ (écart fort avec la théorie).
- Sur 100 lancers : 53 Pile obtenus $\implies f = \frac{53}{100} = 0,53 = 53\,\%$ (se rapproche).
- Sur 1 000 lancers : 502 Pile obtenus $\implies f = \frac{502}{1\,000} = 0,502 = 50,2\,\%$ (très proche de $50\,\%$).
Conclusion : À mesure que le nombre d'essais augmente, la fréquence réelle se stabilise vers la probabilité théorique de 0,5.
Événement Contraire ($\bar{A}$) & Événements Incompatibles
Règle de l'Événement Contraire ($\bar{A}$)
L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$. La somme de leurs probabilités vaut toujours 1 :
Exemple d'application rédigé pas à pas : Contrôle Qualité de Pièces Usinées
Dans une usine mécanique, la probabilité qu'un roulement prélevé au hasard présente un défaut est de $P(D) = 0,03$ ($3\,\%$).
1. Définition de l'événement contraire $\bar{D}$
$\bar{D}$ : "Le roulement prélevé est conforme sans aucun défaut".
2. Calcul de la probabilité $P(\bar{D})$
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,03 = 0,97 = 97\,\%$$
Dénombrement par Arbre des Possibles
Représentation Graphique Officielle : L'Arbre des Possibles (2 Lançements)
Schéma VisuelChaque embranchement représente un résultat possible (issue). Les probabilités sont inscrites directement sur chaque branche. On suit le chemin de gauche à droite pour obtenir les issues finales.
Exemple d'application rédigé pas à pas : Lancer de 2 pièces consécutives
En observant l'arbre ci-dessus, calculons les probabilités d'événements composés :
1. Dénombrement de toutes les issues (Arbre à 2 épreuves)
Chemins de l'arbre : $(P,P), (P,F), (F,P), (F,F) \implies 4\text{ issues au total}$.
2. Calcul de la probabilité d'obtenir 2 fois Pile $(P,P)$
$$P(P,P) = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\,\%$$
3. Calcul de la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile
Issues favorables : $(P,P), (P,F), (F,P) \implies 3\text{ issues} \implies P = \frac{3}{4} = 0,75 = 75\,\%$$
Simulateur Interactif de Hasard & Fréquence Observée
Lancez le dé virtuellement et observez la convergence de la fréquence réelle vers la théorie de 50 %.