TD : 10 Exercices avec Illustrations Géométriques
Ex 1 Agrandissement d'une surface de panneau publicitaire
Calculer (REA)Un panneau de signalétique a une aire $A = 12\text{ cm}^2$ sur le projet graphique. L'imprimeur effectue un agrandissement de rapport $k = 2,5$.
Calculez l'aire du panneau agrandi $A'$.
Corrigé rédigé :
$A' = k^2 \times A = 2,5^2 \times 12 = 6,25 \times 12 = 75\text{ cm}^2$.
Ex 2 Réduction d'une cuve cylindrique de stockage
Calculer (REA)Une cuve réelle a un volume $V = 16\,000\text{ Litres}$. On fabrique une maquette réduite de rapport $k = \frac{1}{20} = 0,05$.
Calculez la capacité $V'$ de la maquette en Litres.
Corrigé rédigé :
$V' = k^3 \times V = (0,05)^3 \times 16\,000 = 0,000125 \times 16\,000 = 2\text{ Litres}$.
Ex 3 Détermination d'une échelle de carte topographique
Modéliser (MOD)Sur un plan de chantier, une distance réelle $L = 250\text{ m} = 25\,000\text{ cm}$ est représentée par un segment de $L' = 10\text{ cm}$.
1. Calculez le rapport de réduction $k$.
2. Écrivez cette échelle sous forme de fraction $\frac{1}{N}$.
Corrigé rédigé :
1. $k = \frac{L'}{L} = \frac{10}{25\,000} = 0,0004$.
2. Échelle $\frac{1}{2\,500}$ (soit 1 cm pour 25 mètres).
Ex 4 Surface de peinture pour la maquette d'un hangar
Chercher (CHER)La surface extérieure d'un hangar industriel à peindre est de $400\text{ m}^2$. Une maquette est réalisée à l'échelle $k = \frac{1}{20}$.
Quelle est la surface extérieure de la maquette en $\text{cm}^2$ ? ($1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
Corrigé rédigé :
Surface réelle $= 400 \times 10\,000 = 4\,000\,000\text{ cm}^2$.
Surface maquette $= \left(\frac{1}{20}\right)^2 \times 4\,000\,000 = \frac{4\,000\,000}{400} = 10\,000\text{ cm}^2 = 1\text{ m}^2$.
Ex 5 Validation d'une affirmation d'élève (Piège du volume)
Valider (VAL)Un élève affirme : "Si je double toutes les dimensions d'un pavé en bois ($k=2$), le volume est simplement multiplié par 2."
L'affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifiez rigoureusement votre réponse par un calcul.
Corrigé rédigé :
L'affirmation est fausse. Lors d'un agrandissement de rapport $k=2$, le volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$. Le volume final est 8 fois plus grand.
Ex 6 Homothétie & Conservation des angles
Représenter (REG)Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3\text{ cm}$, $AC = 4\text{ cm}$ et $\widehat{ABC} \approx 53,1^\circ$. On réalise une homothétie de centre $A$ et de rapport $k = 3$ pour obtenir le triangle $AB'C'$.
1. Calculez les longueurs $AB'$ et $AC'$.
2. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AB'C'}$ ? Justifiez.
Corrigé rédigé :
1. $AB' = 3 \times 3 = 9\text{ cm}$ et $AC' = 3 \times 4 = 12\text{ cm}$.
2. L'homothétie conserve la mesure des angles, donc $\widehat{AB'C'} = \widehat{ABC} \approx 53,1^\circ$.
Ex 7 Maquette de la Pyramide du Louvre
Calculer (REA)La Pyramide du Louvre a un volume réel $V \approx 9\,000\text{ m}^3$. Un musée achète une reproduction miniature à l'échelle $k = \frac{1}{50} = 0,02$.
Calculez le volume de la miniature en $\text{m}^3$ puis exprimez le résultat en Litres ($1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$).
Corrigé rédigé :
$V' = (0,02)^3 \times 9\,000 = 0,000008 \times 9\,000 = 0,072\text{ m}^3 = 72\text{ Litres}$.
Ex 8 Conteneur Maritime & Logistique
Communiquer (COM)Un conteneur d'emballage industriel modèle A a un volume de $8\text{ m}^3$. Le modèle B est un agrandissement de rapport $k = 1,5$.
1. Calculez le volume du modèle B.
2. Si le modèle A coûte 200 €, le transporteur affirme que le modèle B devrait coûter $200 \times 1,5 = 300\text{ €}$. Rédigez un paragraphe expliquant pourquoi le volume disponible justifierait plutôt un tarif basé sur $k^3$.
Corrigé rédigé :
1. $V_B = 1,5^3 \times 8 = 3,375 \times 8 = 27\text{ m}^3$.
2. Le volume du conteneur B est de $27\text{ m}^3$, soit $3,375$ fois plus grand que A. Facturer seulement 1,5 fois plus cher ne prendrait pas en compte que la capacité de stockage utile a été multipliée par 3,375.
Ex 9 Sphères en résine synthétique
Modéliser (MOD)Une sphère en plastique a un rayon $R = 10\text{ cm}$ et un volume $V = \frac{4}{3} \pi R^3 \approx 4\,188,8\text{ cm}^3$. On fabrique une boule réduite avec un rayon $R' = 4\text{ cm}$.
1. Déterminez le rapport de réduction $k$.
2. En déduire le volume exact $V'$ de la petite boule.
Corrigé rédigé :
1. $k = \frac{R'}{R} = \frac{4}{10} = 0,4$.
2. $V' = k^3 \times V = (0,4)^3 \times 4\,188,8 = 0,064 \times 4\,188,8 \approx 268,1\text{ cm}^3$.
Ex 10 Problème Complexe DNB PRO : Terrain de sport & Gazon synthétique
Valider & Synthétiser (VAL)Une municipalité souhaite agrandir un terrain de futsal rectangulaire ($20\text{ m} \times 10\text{ m}$) avec un rapport d'agrandissement $k = 1,4$. Le rouleau de gazon synthétique coûte $18\text{ €/m}^2$.
1. Calculez les nouvelles dimensions $L'$ et $l'$ du terrain agrandi.
2. Calculez l'aire initiale $A$ du terrain puis l'aire $A'$ du terrain agrandi.
3. Vérifiez la relation $A' = k^2 \times A$.
4. Calculez le coût total du nouveau gazon synthétique.
Corrigé rédigé :
1. $L' = 1,4 \times 20 = 28\text{ m}$ et $l' = 1,4 \times 10 = 14\text{ m}$.
2. $A = 20 \times 10 = 200\text{ m}^2$. $A' = 28 \times 14 = 392\text{ m}^2$.
3. Vérification : $k^2 \times A = 1,4^2 \times 200 = 1,96 \times 200 = 392\text{ m}^2$. C'est parfaitement exact.
4. $\text{Coût} = 392 \times 18 = 7\,056\text{ €}$.