Fiche de Cours : Agrandissement, Réduction & Transformations
Définitions du rapport $k$, illustrations géométriques des effets sur les longueurs ($k$), les aires ($k^2$), les volumes ($k^3$), et panorama des Isométries.
Le Rapport d'Échelle $k$ & Effet sur les Longueurs
Définition du rapport d'échelle $k$
Lorsqu'on réalise un agrandissement ou une réduction d'une figure géométrique ou d'un solide, toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre positif $k$ appelé rapport d'échelle :
- Si $k > 1$, il s'agit d'un agrandissement. (ex: $k = 2$, les longueurs sont doublées).
- Si $0 < k < 1$, il s'agit d'une réduction (ou échelle). (ex: $k = 0,5 = \frac{1}{2}$, les longueurs sont divisées par 2).
- Si $k = 1$, la figure conserve exactement ses dimensions.
Schéma Visuel 1 : Agrandissement d'un rectangle ($k = 2$)
Observez le passage du rectangle initial $ABCD$ ($4\text{ cm} \times 2\text{ cm}$) au rectangle agrandi $A'B'C'D'$ ($8\text{ cm} \times 4\text{ cm}$) :
Propriétés de conservation (Ce qui ne change JAMAIS !)
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction :
- Les angles sont conservés (les 4 angles du rectangle restent des angles droits de $90^\circ$).
- Le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.
- La forme générale est conservée (les figures restent semblables).
Exemple Métier Rédigé (Architecture & BTP)
Énoncé : Une maquette de maison est réalisée à l'échelle $k = \frac{1}{50} = 0,02$. La façade réelle mesure $L = 12\text{ m} = 1\,200\text{ cm}$. Calculez la largeur $L'$ sur la maquette.
La façade mesurera exactement $24\text{ cm}$ sur la maquette.
Effet du Rapport $k$ sur les Surfaçages & Aires ($k^2$)
Règle fondamentale pour les Aires
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, l'aire d'une surface est multipliée par $k^2$ :
Schéma Visuel 2 : Pourquoi l'aire est-elle multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$ ?
Démonstration visuelle : si on triple les côtés ($k = 3$), le grand carré contient exactement 9 carrés identiques à l'original !
Attention au piège classique du Brevet !
Si une longueur est multipliée par $3$, l'aire n'est PAS multipliée par $3$, mais par $3^2 = 9$ ! De même, si les longueurs sont divisées par $2$ ($k = 0,5$), l'aire est divisée par $2^2 = 4$ ($k^2 = 0,25$).
Exemple Métier Rédigé (Peinture & Carrelage BTP)
Énoncé : Un peintre étudie un mur rectangulaire dont l'aire sur le plan est $A_{\text{plan}} = 15\text{ cm}^2$. Le plan est à l'échelle $k = \frac{1}{50}$. Calculez l'aire réelle du mur $A_{\text{réel}}$ en $\text{m}^2$.
$$A_{\text{plan}} = k^2 \times A_{\text{réel}} \implies A_{\text{réel}} = \frac{A_{\text{plan}}}{k^2} = A_{\text{plan}} \times 50^2$$
$$A_{\text{réel}} = 15 \times 2\,500 = 37\,500\text{ cm}^2 = 3,75\text{ m}^2$$
Effet du Rapport $k$ sur les Volumes & Capacités ($k^3$)
Règle fondamentale pour les Volumes
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, le volume d'un solide est multiplié par $k^3$ :
Schéma Visuel 3 : Pourquoi le volume est-il multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$ ?
Si on double la hauteur, la largeur et la profondeur ($k = 2$), le grand cube est constitué de 8 petits cubes unités !
| Grandeur | Dimension | Unité usuelle | Multiplicateur par $k$ |
|---|---|---|---|
| Longueurs (périmètres, rayons, hauteurs) | 1D | $\text{m}, \text{cm}, \text{mm}$ | $\times k$ |
| Aires (surfaces, façades) | 2D | $\text{m}^2, \text{cm}^2$ | $\times k^2$ |
| Volumes (capacités, cubages) | 3D | $\text{m}^3, \text{cm}^3, \text{Litres}$ | $\times k^3$ |
Transformations Conservant les Tailles (Isométries) vs Homothéties
Schéma Visuel 4 : Homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$
Remarquez l'alignement des points avec le centre $O$ : $OA' = 2 \times OA$, $OB' = 2 \times OB$, et les côtés $(BC)$ et $(B'C')$ restent strictement parallèles !
Les Isométries ($k = 1$)
Elles déplacent la figure sans changer sa forme ni sa taille :
- Symétrie axiale : Pliage selon une droite (effet miroir).
- Symétrie centrale : Demi-tour ($180^\circ$) autour d'un point.
- Translation : Glissement selon un vecteur défini (distance et direction).
- Rotation : Virage d'un angle donné autour d'un centre.
L'Homothétie (Agrandissement / Réduction)
Elle étire ou réduit la figure par rapport à un centre $O$ :
- Si $k > 0$, la figure agrandie/réduite est du même côté du centre $O$.
- Si $k < 0$, la figure est retournée du côté opposé par rapport à $O$.
- Le centre $O$, un point $A$ et son image $A'$ sont alignés.