Activités de Découverte : Comprendre Agrandissement & Réduction
Explorez, manipulez et observez ce qui se passe quand on change l'échelle d'un objet. Vous allez découvrir par vous-même les règles qui régissent les longueurs, les aires et les volumes !
Module 0 • Réactivation des notions de base
Avant de commencer les enquêtes, vérifions rapidement deux calculs élémentaires du collège :
Qu'est-ce qu'un agrandissement de figure ? (Le rapport $k$)
Mise en situation : Un dessinateur en architecture possède un plan d'origine (Figure A) et crée un agrandissement pour un panneau d'exposition (Figure B).
Questions d'observation :
- Calculez le rapport $\frac{L'}{L} = \frac{9}{3} =$
- Calculez le rapport $\frac{l'}{l} = \frac{6}{2} =$
- Que remarquez-vous pour ces deux quotients ? Est-ce une situation de proportionnalité ?
Ce que je découvre (Bilan de l'Activité 1) :
Lors d'un agrandissement, toutes les longueurs de la figure sont multipliées par un même nombre positif $k$.
Ici, $k = 3$. Le nombre $k$ est appelé le rapport d'agrandissement.
Que devient la surface quand on multiplie les longueurs ?
L'idée reçue : Un carreleur pense que "si on multiplie les côtés d'une pièce par 2 ($k=2$), l'aire est aussi multipliée par 2." Vérifions si cette affirmation est vraie en comptant les carreaux !
Comptage & Analyse :
- Le petit carré a une aire de $1\text{ cm}^2$.
- Quand les côtés sont multipliés par $k = 2$, combien de petits carreaux comptez-vous dans la figure ? carreaux.
- Quand les côtés sont multipliés par $k = 3$, combien de carreaux comptez-vous ? carreaux.
- Remarquez que $4 = 2^2$ et $9 = 3^2$. L'affirmation du carreleur était-elle exacte ?
Ce que je découvre (Bilan de l'Activité 2) :
Lors d'un agrandissement de rapport $k$, l'aire n'est pas multipliée par $k$, elle est multipliée par $k^2$ !
$$\text{Aire nouvelle } A' = k^2 \times A_{\text{initiale}}$$
Que devient le volume quand on multiplie les arêtes ?
Manipulations de blocs : Un manutentionnaire logistique empile des blocs de rangement. Il prend un petit cube de volume $V = 1\text{ cm}^3$ puis fabrique un grand cube en doublant toutes ses arêtes ($k = 2$).
Réfléchissons :
- Pour faire un grand cube de hauteur 2 blocs, largeur 2 blocs et profondeur 2 blocs, combien de petits cubes $1 \times 1 \times 1$ faut-il empiler en tout ? blocs.
- Calculez $2 \times 2 \times 2 = 2^3 =$ .
- Que constatez-vous ?
Ce que je découvre (Bilan de l'Activité 3) :
Lors d'un agrandissement de rapport $k$, le volume est multiplié par $k^3$ !
$$\text{Volume nouveau } V' = k^3 \times V_{\text{initial}}$$
Que deviennent les angles d'un triangle agrandi ?
Un élève prétend que "si on agrandit un triangle rectangle en doublant ses côtés, son angle droit de $90^\circ$ devient un angle de $180^\circ$."
Vérification par la logique :
- Un angle de $180^\circ$ correspond à une ligne droite (un angle plat). Si l'angle droit devenait un angle plat, le triangle resterait-il un triangle ?
- Un angle d'un triangle agrandi change-t-il de valeur ou reste-t-il exactement le même ?
Ce que je découvre (Bilan de l'Activité 4) :
Un agrandissement ou une réduction conserve les angles et la forme géométrique ! Seules les dimensions (longueurs, aires, volumes) changent.