TD : Probabilités, Arbres, Événements & Fluctuation
10 exercices d'entraînement direct + 3 grands problèmes d'évaluation des compétences C1 à C5.
A Partie A : 10 Exercices d'Entraînement Illustrés
Ex 1 Restauration : Choix d'un Menu & Événement Contraire
Réaliser (C3)Un restaurant gastronomique propose une carte comprenant 15 plats de viande, 10 plats de poisson et 5 plats végétariens (total $N = 30$ plats). Un client choisit un plat au hasard.
- Calculez la probabilité $P(V)$ que le client choisisse un plat végétarien.
- En déduire la probabilité $P(\bar{V})$ qu'il choisisse un plat non végétarien.
Corrigé rédigé :
1. Total $N = 15 + 10 + 5 = 30$. $P(V) = \frac{5}{30} = \mathbf{\frac{1}{6} \approx 0{,}167} = \mathbf{16{,}7\%}$.
2. $P(\bar{V}) = 1 - P(V) = 1 - \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{5}{6} \approx 0{,}833} = \mathbf{83{,}3\%}$.
Ex 2 Automobile : Contrôle de Stock de Bougies d'Allumage
Réaliser (C3)Dans un garage automobile, un bac contient 200 bougies d'allumage : 140 neuves, 40 d'occasion nettoyées et 20 défectueuses. On prévient une bougie au hasard.
- Quelle est la probabilité $P(N)$ de tirer une bougie neuve ?
- Quelle est la probabilité $P(D)$ de tirer une bougie défectueuse ?
Corrigé rédigé :
1. $P(N) = \frac{140}{200} = \mathbf{0{,}70} = \mathbf{70\%}$.
2. $P(D) = \frac{20}{200} = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$.
Ex 3 BTP & Maçonnerie : Solidité de Matériaux
Analyser (C2)Sur un chantier de construction, une palette contient 250 briques. Le chef de chantier constate que 225 briques sont impeccables et 25 présentent des micro-fissures.
- Calculez la probabilité de tirer une brique impeccable.
- En déduire le pourcentage de briques présentant des micro-fissures.
Corrigé rédigé :
1. $P(\text{Impeccable}) = \frac{225}{250} = \mathbf{0{,}90} = \mathbf{90\%}$.
2. $P(\text{Fissures}) = 1 - 0{,}90 = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$.
Ex 4 Électricité : Formule de la Réunion $P(A \cup B)$
Réaliser (C3)Lors d'un contrôle de disjoncteurs : $P(A) = 0{,}12$ (défaut thermique), $P(B) = 0{,}08$ (défaut magnétique) et $P(A \cap B) = 0{,}02$ (les deux défauts).
- Calculez la probabilité $P(A \cup B)$ qu'un disjoncteur présente au moins un défaut.
- En déduire la probabilité qu'un disjoncteur n'ait aucun défaut.
Corrigé rédigé :
1. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}02 = \mathbf{0{,}18} = \mathbf{18\%}$.
2. $P(\text{Aucun}) = 1 - 0{,}18 = \mathbf{0{,}82} = \mathbf{82\%}$.
Ex 5 Commerce & Logistique : Gestion de Stock
S'approprier (C1)Dans un entrepôt de 400 paires de chaussures : 240 sont noires et 160 sont marron. Parmi les noires, 60 sont en taille 42.
- Quelle est la probabilité de prélever une paire noire ?
- Quelle est la probabilité de prélever une paire noire ET en taille 42 ?
Corrigé rédigé :
1. $P(\text{Noires}) = \frac{240}{400} = \mathbf{0{,}60} = \mathbf{60\%}$.
2. $P(\text{Noires} \cap 42) = \frac{60}{400} = \mathbf{0{,}15} = \mathbf{15\%}$.
Ex 6 Agroalimentaire : Pesée de Barquettes
Réaliser (C3)Une trieuse pondérale vérifie 500 barquettes : 450 sont de poids conforme (500g), 30 sont sous-pesées et 20 sont sur-pesées.
- Quelle est la probabilité de tirer une barquette de poids non conforme (sous-pesée ou sur-pesée) ?
Corrigé rédigé :
Total non conformes $= 30 + 20 = 50$. $P(\text{Non conforme}) = \frac{50}{500} = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$.
Ex 7 Maintenance : Diagnostic par Arbre de Choix
Analyser (C2)Lors de pannes sur un automate : $40\%$ sont d'origine électrique ($E$) et $60\%$ d'origine mécanique ($M$). Si la panne est électrique, le changement de fusible suffit dans $80\%$ des cas.
- Calculez la probabilité que la panne soit électrique ET résolue par le fusible.
Corrigé rédigé :
$P(E \cap F) = 0{,}40 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}32} = \mathbf{32\%}$.
Ex 8 Santé & ASSP : Groupes Sanguins de Donneurs
Réaliser (C3)Un centre de don du sang enregistre 400 donneurs : 180 du groupe O, 160 du groupe A, 40 du groupe B et 20 du groupe AB.
- Quelle est la probabilité qu'un donneur soit du groupe O (donneur universel) ?
Corrigé rédigé :
$P(O) = \frac{180}{400} = \mathbf{0{,}45} = \mathbf{45\%}$.
Ex 9 Tertiaire & Vente : Enquête de Satisfaction
S'approprier (C1)Une enquête auprès de 200 clients indique : 150 très satisfaits, 30 neutres et 20 insatisfaits.
- Calculez la probabilité de tirer un client insatisfait.
Corrigé rédigé :
$P(\text{Insatisfait}) = \frac{20}{200} = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$.
Ex 10 Métallurgie : Fluctuation d'Échantillonnage de Roulements
Valider (C4)La probabilité théorique de défaut de diamètre est $p = 0{,}05$. Un technicien contrôle deux échantillons : Échantillon 1 ($N_1 = 40$, 4 défectueux) et Échantillon 2 ($N_2 = 500$, 26 défectueux).
- Calculez les fréquences observées $f_1$ et $f_2$. Quel échantillon est le plus proche de la théorie $p = 0{,}05$ ?
Corrigé rédigé :
$f_1 = \frac{4}{40} = 0{,}10$ (écart de 0,05). $f_2 = \frac{26}{500} = 0{,}052$ (écart de 0,002). L'échantillon 2 ($N_2 = 500$) est beaucoup plus proche de $p=0{,}05$ conformément à la Loi des grands nombres.
B Partie B : 3 Grands Problèmes Multi-Compétences (C1 à C5)
Contrôle Qualité de Rivets en Titane (Tableau & Norme Usine)
Un sous-traitant aéronautique fabrique des rivets en titane pour l'assemblage des ailes d'avions. Un lot de 1 000 rivets est contrôlé. La Machine 1 produit 600 rivets (dont 12 défectueux) et la Machine 2 produit 400 rivets (dont 4 défectueux).
| Machine | Conformes ($C$) | Défectueux ($D$) | TOTAL |
|---|---|---|---|
| Machine 1 ($M_1$) | 588 | 12 | 600 |
| Machine 2 ($M_2$) | 396 | 4 | 400 |
| TOTAL | 984 | 16 | 1 000 |
Travail à effectuer :
- Calculer la probabilité $P(M_1)$ qu'un rivet vienne de la Machine 1. (C1 - S'approprier)
- Calculer la probabilité globale de défaut $P(D)$ sur l'ensemble du lot. (C3 - Réaliser)
- La norme aéronautique exige que le taux de défaut ne dépasse pas $1{,}8%$. Le lot est-il conforme à la norme usine ? Justifier. (C4 - Valider & C5 - Communiquer)
Corrigé rédigé du Problème A :
1. $P(M_1) = \frac{600}{1000} = \mathbf{0{,}60} = \mathbf{60\%}$.
2. $P(D) = \frac{16}{1000} = \mathbf{0{,}016} = \mathbf{1{,}6\%}$.
3. Comme $1{,}6\% \le 1{,}8\%$, le lot respecte la norme qualité aéronautique usine et peut être validé pour l'assemblage.
Analyse des Pannes d'une Flotte de 200 Camions
Une entreprise de transport gère un parc de 200 camions. Lors du bilan annuel : $15\%$ des camions ont eu une panne de freins ($A$), $10\%$ ont eu une panne moteur ($B$) et $3\%$ ont eu les deux pannes ($A \cap B$).
Travail à effectuer :
- Calculer la probabilité $P(A \cup B)$ qu'un camion ait eu au moins une panne dans l'année. (C3 - Réaliser)
- Calculer le nombre exact de camions de la flotte n'ayant subi AUCUNE panne. (C3 - Réaliser)
- Rédiger une note d'information synthétique destinée au directeur d'exploitation sur la fiabilité de la flotte. (C5 - Communiquer)
Corrigé rédigé du Problème B :
1. $P(A \cup B) = 0{,}15 + 0{,}10 - 0{,}03 = \mathbf{0{,}22} = \mathbf{22\%}$.
2. $P(\text{Aucune}) = 1 - 0{,}22 = 0{,}78$. Nombre $= 0{,}78 \times 200 = \mathbf{156 \text{ camions}}$.
3. Note : $78\%$ du parc n'a connu aucune défaillance majeure. Seuls $22\%$ ont subi au moins une panne, démontrant un bon entretien global du parc.
Étude de la Fluctuation d'Échantillonnage en Usinage CNC
Une tour numérique produit des axes en acier. La probabilité théorique qu'un axe soit hors tolérance de cote est $p = 0{,}04$ ($4\%$). Un régleur effectue 3 séries de contrôle d'échantillons : - Échantillon 1 : $N_1 = 25$ pièces (2 hors tolérance). - Échantillon 2 : $N_2 = 100$ pièces (6 hors tolérance). - Échantillon 3 : $N_3 = 1\,000$ pièces (41 hors tolérance).
Travail à effectuer :
- Calculer les fréquences observées $f_1$, $f_2$ et $f_3$. (C3 - Réaliser)
- Expliquer pourquoi les fréquences $f_1$ et $f_2$ diffèrent de la valeur théorique $p = 0{,}04$. (C2 - Analyser)
- En déduire le rôle de la taille de l'échantillon sur la fiabilité du contrôle selon la Loi des Grands Nombres. (C4 - Valider)
Corrigé rédigé du Problème C :
1. $f_1 = \frac{2}{25} = 0{,}080 = 8\%$. $f_2 = \frac{6}{100} = 0{,}060 = 6\%$. $f_3 = \frac{41}{1000} = 0{,}041 = 4{,}1\%$.
2. L'écart est dû à la fluctuation d'échantillonnage naturelle sur de faibles effectifs.
3. Plus la taille de l'échantillon $N$ augmente, plus la fréquence observée $f$ converge vers la probabilité théorique $p = 0{,}04$. Seul un grand échantillon garantit un contrôle fiable du procédé d'usinage.