Évaluation Sommative : Probabilités & Fluctuation (20 Pts)
| Compétence Évaluée | S'approprier (C1) | Analyser (C2) | Réaliser (C3) | Valider (C4) | Communiquer (C5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Barème par compétence | 4 Pts | 4 Pts | 6 Pts | 4 Pts | 2 Pts |
Ex 1 Automatismes & Connaissances (4 Points)
C1, C2 • 4 PointsCochez la bonne réponse pour chaque question (1 pt par réponse exacte).
1. Un lot contient 80 pièces conformes et 20 défectueuses. $P(\text{défectueuse}) = $ ?
2. Si $P(A) = 0{,}15$, que vaut la probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A})$ ?
3. Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cup B) = $ ?
4. Selon la Loi des Grands Nombres, quand la taille de l'échantillon $N$ devient très grande :
Corrigé Ex 1 :
1. B) $0{,}20$ (1 pt) | 2. A) $0{,}85$ (1 pt) | 3. B) $P(A) + P(B)$ (1 pt) | 4. B) $f$ se rapproche de $p$ (1 pt).
Ex 2 Contrôle Qualité Automobile & Tableau à Double Entrée (5 Points)
C1, C2, C3 • 5 PointsDans un centre de contrôle de pièces mécaniques, un lot de 400 capteurs produits par deux lignes ($L_1$ et $L_2$) donne les résultats suivants :
| Ligne | Conformes ($C$) | Défectueux ($D$) | TOTAL |
|---|---|---|---|
| Ligne 1 ($L_1$) | 235 | 15 | 250 |
| Ligne 2 ($L_2$) | 141 | 9 | 150 |
| TOTAL | 376 | 24 | 400 |
- (1 pt) Calculez la probabilité $P(L_1)$ qu'un capteur vienne de la Ligne 1.
- (1,5 pt) Calculez la probabilité $P(L_1 \cap D)$ que le capteur soit issu de la Ligne 1 ET défectueux.
- (1,5 pt) Calculez la probabilité globale de défaut $P(D)$ sur le lot.
- (1 pt) En déduire la probabilité $P(C)$ que le capteur soit conforme.
Corrigé Ex 2 :
1. $P(L_1) = \frac{250}{400} = \mathbf{0{,}625} = \mathbf{62{,}5\%}$. (1 pt)
2. $P(L_1 \cap D) = \frac{15}{400} = \mathbf{0{,}0375} = \mathbf{3{,}75\%}$. (1,5 pt)
3. $P(D) = \frac{24}{400} = \mathbf{0{,}06} = \mathbf{6\%}$. (1,5 pt)
4. $P(C) = 1 - 0{,}06 = \mathbf{0{,}94} = \mathbf{94\%}$. (1 pt)
Ex 3 Sécurité & Parc Logistique : Formule de la Réunion (5 Points)
C2, C3, C4 • 5 PointsUn responsable de flotte analyse 500 véhicules utilitaires :
- Événement $A$ : « Défaut de freinage » ($P(A) = 0{,}12$).
- Événement $B$ : « Défaut de signalisation » ($P(B) = 0{,}08$).
- Événement $A \cap B$ : « Présente les deux défauts » ($P(A \cap B) = 0{,}02$).
- (2 pts) Calculez la probabilité $P(A \cup B)$ qu'un véhicule présente au moins un défaut.
- (1,5 pt) Calculez la probabilité qu'un véhicule ne présente AUCUN défaut.
- (1,5 pt) Déterminez le nombre exact de véhicules en parfait état dans la flotte.
Corrigé Ex 3 :
1. $P(A \cup B) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}02 = \mathbf{0{,}18} = \mathbf{18\%}$. (2 pts)
2. $P(\text{Aucun}) = 1 - 0{,}18 = \mathbf{0{,}82} = \mathbf{82\%}$. (1,5 pt)
3. Nombre de véhicules $= 0{,}82 \times 500 = \mathbf{410 \text{ véhicules}}$. (1,5 pt)
Ex 4 Problème Situé : Fluctuation d'Échantillonnage en Usinage CNC (6 Points)
C1 à C5 • 6 PointsUn atelier d'usinage fabrique des axes de précision en alliage d'aluminium. La probabilité théorique de défaut de cote est $p = 0{,}05$ ($5\%$). Le technicien qualité teste 3 séries :
- Échantillon 1 : $N_1 = 50$ pièces, 5 défectueuses.
- Échantillon 2 : $N_2 = 200$ pièces, 14 défectueuses.
- Échantillon 3 : $N_3 = 1\,000$ pièces, 51 défectueuses.
- (2 pts) Calculez les fréquences observées $f_1, f_2, f_3$.
- (1,5 pt) Expliquez pourquoi $f_1 = 0{,}10$ s'éloigne de $p = 0{,}05$. (C2 - Analyser)
- (1,5 pt) Justifier pourquoi $f_3 = 0{,}051$ se rapproche très près de $p = 0{,}05$ en citant la loi mathématique correspondante. (C4 - Valider)
- (1 pt) Conclure sur le choix de la taille d'échantillon pour un contrôle qualité fiable. (C5 - Communiquer)
Corrigé Ex 4 :
1. $f_1 = \frac{5}{50} = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$. $f_2 = \frac{14}{200} = \mathbf{0{,}07} = \mathbf{7\%}$. $f_3 = \frac{51}{1000} = \mathbf{0{,}051} = \mathbf{5{,}1\%}$. (2 pts)
2. L'écart est dû à la fluctuation d'échantillonnage sur un faible effectif ($N_1 = 50$). (1,5 pt)
3. Conformément à la Loi des Grands Nombres, la fréquence observée $f$ se rapproche de la probabilité théorique $p = 0{,}05$ lorsque la taille $N$ augmente. (1,5 pt)
4. Pour un contrôle qualité fiable, il est nécessaire de choisir des échantillons de grande taille ($N \ge 500$) afin d'éviter les faux signaux dus aux petites séries. (1 pt)