Fiche de Cours : Probabilités & Fluctuation
Vocabulaire du hasard, équiprobabilité $P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$, événement contraire $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, réunion $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, dénombrement par arbre/tableau et fluctuation d'échantillonnage.
Vocabulaire du Hasard & Calcul en Équiprobabilité
- • Expérience aléatoire : Expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prédire lequel se produira.
- • Univers $\Omega$ : Ensemble de tous les résultats (issues) possibles.
- • Événement $A$ : Sous-ensemble de l'univers formé par une ou plusieurs issues.
- • Événement élémentaire : Événement contenant une seule issue.
Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire (dés équilibrés, tirage au sort non truqué), on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité :
• La probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ (soit entre $0\%$ et $100\%$) : $\mathbf{0 \le P(A) \le 1}$.
• Probabilité d'un événement impossible : $\mathbf{P(\emptyset) = 0}$. Probabilité d'un événement certain : $\mathbf{P(\Omega) = 1}$.
Énoncé : Un lot contient $N = 50$ composants dont $n = 42$ sont conformes. On tire un composant au hasard.
Calcul pas à pas :
$P(\text{Conforme}) = \frac{42}{50} = \mathbf{0{,}84} = \mathbf{84\%}$.
Énoncé : On lance un dé à 6 faces non truqué. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 (issues 3 ou 6) ?
Calcul pas à pas :
Issues favorables : $2$ ($3$ et $6$). Total : $6$.
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx \mathbf{0{,}333} = \mathbf{33{,}3\%}$.
Événement Contraire $\bar{A}$, Intersection $A \cap B$ & Réunion $A \cup B$
L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$ (ou non A), est composé de toutes les issues qui n'appartiennent pas à $A$.
L'événement "$A$ inter $B$", noté $A \cap B$, est réalisé lorsque les deux événements $A$ ET $B$ se réalisent en même temps.
L'événement "$A$ union $B$", noté $A \cup B$, est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux événements $A$ OU $B$ se réalise.
*Remarque : Si $A$ et $B$ sont incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble, $A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cap B) = 0$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Énoncé : La probabilité qu'un colis soit livré en retard est $P(R) = 0{,}06$. Quelle est la probabilité $P(\bar{R})$ qu'il soit livré à temps ?
Calcul pas à pas :
$P(\bar{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}06 = \mathbf{0{,}94} = \mathbf{94\%}$.
Énoncé : Dans un atelier, $P(A) = 0{,}15$ (défaut peinture), $P(B) = 0{,}10$ (défaut taille) et $P(A \cap B) = 0{,}03$ (les deux).
Calcul pas à pas :
$P(A \cup B) = 0{,}15 + 0{,}10 - 0{,}03 = \mathbf{0{,}22} = \mathbf{22\%}$.
Arbres de Choix & Tableaux à Double Entrée
Pratique lorsque les éléments croisent deux caractères d'étude (ex: conforme/non conforme x machine A/machine B). Il suffit de lire l'intersection ligne-colonne pour obtenir l'effectif favorable.
• La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$.
• La probabilité d'un chemin entier s'obtient en multipliant les probabilités le long de ce chemin.
Sur 100 vêtements contrôlés : 70 T-shirts (65 conformes, 5 défectueux) et 30 Jeanes (25 conformes, 5 défectueux). Total défectueux = 10.
Calcul pas à pas :
$P(\text{Défectueux}) = \frac{10}{100} = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%}$.
Une machine A fabrique $60\%$ des pièces ($P(A) = 0{,}60$). Sur A, $5\%$ sont défectueuses ($P(D) = 0{,}05$).
Calcul du chemin :
$P(A \cap D) = 0{,}60 \times 0{,}05 = \mathbf{0{,}03} = \mathbf{3\%}$.
Fluctuation d'Échantillonnage & Loi des Grands Nombres
Lorsqu'on extrait plusieurs échantillons de même taille $N$ d'une même population, la fréquence observée $f$ du caractère varie d'un échantillon à un autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Lorsque la taille $N$ de l'échantillon devient très grande, la fréquence observée $f$ se stabilise et se rapproche de la probabilité théorique $p$ :
• Pour $N = 10$ lancers : on obtient 3 "Pile" $\implies f = \frac{3}{10} = \mathbf{0{,}30}$ (écart fort de $0{,}20$).
• Pour $N = 100$ lancers : on obtient 47 "Pile" $\implies f = \frac{47}{100} = \mathbf{0{,}47}$ (écart faible de $0{,}03$).
• Pour $N = 1\,000$ lancers : on obtient 502 "Pile" $\implies f = \frac{502}{1000} = \mathbf{0{,}502}$ (très proche de $p = 0{,}50$).
Calculateur Dynamique de Probabilités & Contraire
Si $P(A)$ est la probabilité ci-contre, alors la probabilité contraire $P(\bar{A})$ s'affiche instantanément ci-contre.