TD : 10 Exercices Illustrés + 3 Problèmes Multi-Compétences (C1 à C5)
Exercices d'entraînement progressifs avec figures SVG + Problèmes complexes de synthèse évalués par compétences en bas de fiche.
Partie A : 10 Exercices d'Entraînement avec Figures Vectorielles
Ex 1 Commerce : Remise Commerciale de 20% & TVA à 20%
Réaliser (C3)Un outillage professionnel est affiché à $150{,}00\text{ € HT}$. Le magasin accorde une remise exceptionnelle de $20\%$. Ensuite, la TVA de $20\%$ s'applique sur le prix remisé.
1. Calculer le prix après remise $V_{\text{remise}}$.
2. Calculer le prix final $V_{\text{TTC}}$ et le coefficient multiplicateur global $CM_{\text{global}}$.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 1
1. Prix remisé : $CM_1 = 1 - 0{,}20 = 0{,}80 \implies V_{\text{remise}} = 150 \times 0{,}80 = \mathbf{120{,}00\text{ €}}$.
2. Prix final TTC : $CM_2 = 1 + 0{,}20 = 1{,}20 \implies V_{\text{TTC}} = 120 \times 1{,}20 = \mathbf{144{,}00\text{ €}}$.
3. $CM_{\text{global}}$ : $0{,}80 \times 1{,}20 = \mathbf{0{,}96}$ (soit une baisse globale de $-4\%$ par rapport au prix HT initial !).
Ex 2 Industrie : Perte de Matière & Chute d'Usinage (Métallurgie)
Modéliser (C2)Un bloc brut d'acier pèse $M_0 = 45{,}00\text{ kg}$. Lors du tournage et du fraisage, la pièce subit une perte de matière (chutes d'usinage et copeaux) de $12\%$.
1. Calculer la masse de la pièce finie usinée $M_1$.
2. Calculer la masse exacte des copeaux récupérés pour le recyclage.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 2
1. Masse finie : $CM = 1 - 0{,}12 = 0{,}88 \implies M_1 = 45 \times 0{,}88 = \mathbf{39{,}60\text{ kg}}$.
2. Masse des copeaux : $45 - 39{,}60 = \mathbf{5{,}40\text{ kg}}$ (ou $45 \times 0{,}12 = 5{,}40\text{ kg}$).
Ex 3 Agronomie : Proportions Étagées dans un Élevage Laitier
S'approprier (C1)Dans un élevage bovin de $N = 250$ têtes, $60\%$ des animaux sont des vaches laitières Prim'Holstein ($p_1 = 0{,}60$). Parmi ces laitières, $45\%$ sont certifiées Agriculture Biologique ($p_2 = 0{,}45$).
1. Calculer la proportion globale $p$ de vaches laitières bio dans tout l'élevage.
2. Calculer le nombre effectif de vaches laitières bio.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 3
1. Proportion globale : $p = p_1 \times p_2 = 0{,}60 \times 0{,}45 = \mathbf{0{,}27}$ (soit **$27\%$** de l'élevage).
2. Nombre effectif : $250 \times 0{,}27 = \mathbf{67{,}5} \implies \mathbf{67\text{ ou } 68\text{ vaches}}$.
Ex 4 BTP : Variation du Prix des Matériaux (Hausse & Remise)
Analyser (C2)Le prix du m³ de béton subit une hausse de $+15\%$ en raison du coût des matières premières. L'entreprise de maçonnerie négocie ensuite une remise pro de $-8\%$ sur la facture globale.
Calculer le $CM_{\text{global}}$ et le pourcentage de variation net final.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 4
• $CM_1 = 1{,}15$ et $CM_2 = 0{,}92$.
• $CM_{\text{global}} = 1{,}15 \times 0{,}92 = \mathbf{1{,}058}$.
• Taux net : $(1{,}058 - 1) \times 100 = \mathbf{+5{,}8\%}$ de hausse réelle.
Ex 5 Automobile : Décote Annuelle d'un Véhicule Utilitaire
Valider (C4)Un fourgon de société acheté neuf $28\,000\text{ €}$ perd $18\%$ de sa valeur chaque année pendant 2 ans consécutifs.
Calculer la valeur résiduelle du véhicule au bout de 2 ans.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 5
• $CM = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$.
• Valeur an 2 : $V_2 = 28\,000 \times (0{,}82)^2 = 28\,000 \times 0{,}6724 = \mathbf{18\,827{,}20\text{ €}}$.
Ex 6 Facturation : Retrouver le Prix HT à partir du Prix TTC
Réaliser (C3)Une facture TTC s'élève à $V_1 = 288{,}00\text{ €}$ incluant une TVA de $20\%$ ($CM = 1{,}20$).
Calculer le montant du prix hors taxe $V_0 = \frac{V_1}{CM}$ ainsi que le montant exact de la TVA.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 6
• Prix HT : $V_0 = \frac{288}{1{,}20} = \mathbf{240{,}00\text{ € HT}}$.
• Montant TVA : $288 - 240 = \mathbf{48{,}00\text{ €}}$.
Ex 7 Énergie : Rendement Solaire & Proportions Étagées
Analyser (C2)Une entreprise installe des panneaux photovoltaïques sur le toit d'un entrepôt de superficie totale $S = 200\text{ m}^2$. Les panneaux recouvrent $40\%$ du toit ($p_1 = 0{,}40$). Les cellules photovoltaïques possèdent un rendement énergétique de $18\%$ ($p_2 = 0{,}18$).
1. Calculer la proportion globale $p$ de surface utile captant l'énergie solaire.
2. Calculer la superficie efficace équivalente $S_{\text{utile}}$ en $\text{m}^2$.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 7
1. Proportion globale : $p = p_1 \times p_2 = 0{,}40 \times 0{,}18 = \mathbf{0{,}072}$ (soit **$7{,}2\%$** du toit).
2. Superficie utile : $S_{\text{utile}} = 200 \times 0{,}072 = \mathbf{14{,}40\text{ m}^2}$.
Ex 8 Restauration & Gestion : Ratio Dépenses Food Cost
S'approprier (C1)Un restaurant traditionnel réalise un chiffre d'affaires mensuel de $CA = 35\,000\text{ €}$. Le cahier des charges de gestion fixe un ratio maximal de dépenses en matières premières alimentaires (Food Cost) de $28\%$.
1. Exprimer la proportion sous forme décimale.
2. Calculer le budget maximal d'achats d'ingrédients autorisé pour le mois.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 8
1. Proportion décimale : $p = \frac{28}{100} = \mathbf{0{,}28}$.
2. Budget maximal : $35\,000 \times 0{,}28 = \mathbf{9\,800{,}00\text{ €}}$.
Ex 9 Ventes & Économie : Le Piège des Soldes (+25% puis -25%)
Valider (C4)Avant une période de promotions, un magasin augmente le prix d'un produit valant $V_0 = 100\text{ €}$ de $+25\%$. Pendant les soldes, il applique une remise de $-25\%$.
1. Calculer le $CM_1$, le $CM_2$ et le $CM_{\text{global}}$.
2. Calculer le prix soldé final $V_2$ et déterminer le pourcentage de variation net par rapport au prix d'origine.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 9
1. Coefficients : $CM_1 = 1{,}25$, $CM_2 = 0{,}75 \implies CM_{\text{global}} = 1{,}25 \times 0{,}75 = \mathbf{0{,}9375}$.
2. Prix final : $100 \times 0{,}9375 = \mathbf{93{,}75\text{ €}}$.
3. Variation net : $(0{,}9375 - 1) \times 100 = \mathbf{-6{,}25\%}$ (soit une perte de 6,25 € par rapport aux 100 € initiaux !).
Ex 10 Finance : Taux Réciproque d'une Inflation de 12%
Communiquer (C5)L'inflation augmente le tarif d'un équipement informatique de $+12\%$ ($CM = 1{,}12$). Un acheteur professionnel négocie une remise spéciale pour revenir exactement au tarif d'origine avant hausse.
1. Calculer le coefficient multiplicateur réciproque $CM' = \frac{1}{CM}$.
2. Calculer le pourcentage de remise exact à obtenir au centième près.
Voir la démonstration détaillée de l'Exercice 10
1. $CM'$ réciproque : $CM' = \frac{1}{1{,}12} \approx \mathbf{0{,}892857}$.
2. Taux de remise : $t' = (0{,}892857 - 1) \times 100 = \mathbf{-10{,}71\%}$ (il faut $10{,}71\%$ de remise pour annuler la hausse de $12\%$).
Partie B : 3 Grands Problèmes Récapitulatifs (C1 → C5)
Bilan Annuel du Chiffre d'Affaires d'un Magasin
Un gérant de magasin d'équipement analyse les variations trimestrielles de son chiffre d'affaires sur une année :
📋 Données d'Évolution Trimestrielle (C1) :
- Chiffre d'affaires initial en début d'année : $CA_0 = 180\,000\text{ €}$.
- Trimestre 1 (T1) : $+8\%$ (Campagne de printemps).
- Trimestre 2 (T2) : $+12\%$ (Période estivale).
- Trimestre 3 (T3) : $-15\%$ (Ralentissement d'automne).
- Trimestre 4 (T4) : $-5\%$ (Fermeture pour travaux).
- Objectif annuel fixé par la direction : Attendre au moins $185\,000\text{ €}$.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) Modélisation : Écrire les 4 coefficients multiplicateurs $CM_1, CM_2, CM_3, CM_4$.
2. (C3) Calculs : Calculer le $CM_{\text{global}}$, le chiffre d'affaires final $CA_4$ et le taux d'évolution net annuel $t_{\text{global}}$.
3. (C4) Validation : Vérifier si l'objectif annuel de $185\,000\text{ €}$ est atteint.
4. (C5) Communication : Rédiger la synthèse commerciale pour le bilan de fin d'année.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème A)
C1 (S'approprier) : $CA_0 = 180\,000\text{ €}$. Taux : $+8\%$, $+12\%$, $-15\%$, $-5\%$.
C2 (Analyser/Modéliser) :
• $CM_1 = 1{,}08$, $CM_2 = 1{,}12$, $CM_3 = 0{,}85$, $CM_4 = 0{,}95$.
• $CM_{\text{global}} = 1{,}08 \times 1{,}12 \times 0{,}85 \times 0{,}95 = \mathbf{0{,}9767}$.
C3 (Réaliser) :
• Chiffre d'affaires final : $CA_4 = 180\,000 \times 0{,}9767 = \mathbf{175\,806{,}00\text{ €}}$.
• Taux d'évolution net : $t_{\text{global}} = (0{,}9767 - 1) \times 100 = \mathbf{-2{,}33\%}$.
C4 (Valider) : Comme $175\,806\text{ €} < 185\,000\text{ €}$, l'objectif de la direction **n'est pas atteint** (-9 194 € d'écart).
C5 (Communiquer) : "Le chiffre d'affaires clôture à 175 806 €, soit une baisse nette annuelle de -2,33%. L'objectif de 185 000 € n'est pas atteint en raison de la baisse prolongée des T3 et T4."
Rendement de Ligne de Conditionnement & Gaspillage Zero
Une usine agroalimentaire produit $M_0 = 8\,500\text{ kg}$ de matière brute par jour. Les pertes sur la chaîne de conditionnement sont les suivantes :
📋 Pertes aux Étapes de Production (C1) :
- Étape 1 (Tri & Épluchage) : $-8\%$ de perte.
- Étape 2 (Cuisson & Évaporation) : $-6\%$ de perte.
- Étape 3 (Mise en barquettes & Pesée) : $-3\%$ de perte.
- Norme de rendement global usine : Le rendement net final doit dépasser $83\%$.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) : Exprimer les 3 coefficients de perte $CM_1, CM_2, CM_3$.
2. (C3) : Calculer la masse nette consommable emballée $M_3$ et la masse totale de déchets.
3. (C4) : Calculer le rendement global et valider la norme usine ($>83%$).
4. (C5) : Rédiger la synthèse de contrôle qualité industrielle.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème B)
C1 (S'approprier) : $M_0 = 8\,500\text{ kg}$. Pertes : $-8\%$, $-6\%$, $-3\%$.
C2 (Analyser) : $CM_1 = 0{,}92$, $CM_2 = 0{,}94$, $CM_3 = 0{,}97 \implies CM_{\text{global}} = 0{,}92 \times 0{,}94 \times 0{,}97 = \mathbf{0{,}8389}$.
C3 (Réaliser) :
• Masse nette finale : $M_3 = 8\,500 \times 0{,}8389 = \mathbf{7\,130{,}65\text{ kg}}$.
• Perte totale : $8\,500 - 7\,130{,}65 = \mathbf{1\,369{,}35\text{ kg}}$ de déchets.
C4 (Valider) : Rendement global $= 83{,}89\% > 83{,}0\% \implies$ Production **conforme aux exigences de qualité**.
C5 (Communiquer) : "La ligne d'emballage livre 7 130,65 kg de produit fini avec un rendement net de 83,89%, respectant l'objectif industriel fixé."
Rénovation Énergétique & Amortissement d'un Bâtiment
La facture annuelle d'électricité d'un bâtiment commercial s'élève à $F_0 = 45\,000\text{ €}$. Une hausse du prix du kWh de $+18\%$ est annoncée. Pour compenser, le propriétaire investit $30\,000\text{ €}$ dans une isolation thermique permettant de réduire la consommation de $-25\%$.
📋 Données de l'Audit (C1) :
- Facture d'origine : $F_0 = 45\,000\text{ €}$.
- Hausse de tarif : $+18\%$ ($CM_1 = 1{,}18$).
- Réduction consommation : $-25\%$ ($CM_2 = 0{,}75$).
- Investissement isolation : $30\,000\text{ €}$.
Travail à Réaliser par l'Élève :
1. (C1/C2) : Calculer le $CM_{\text{global}}$ résultant de la hausse et de l'isolation.
2. (C3) : Calculer le montant de la nouvelle facture $F_1$ et l'économie annuelle réalisée par rapport à la facture ajustée sans travaux ($45\,000 \times 1{,}18 = 53\,100\text{ €}$).
3. (C4) : Calculer en combien d'années l'investissement d'isolation de $30\,000\text{ €}$ sera amorti grâce aux économies annuelles.
4. (C5) : Rédiger la conclusion d'amortissement technico-financière.
Corrigé Intégral & Barème par Compétences (Problème C)
C1 (S'approprier) : $F_0 = 45\,000\text{ €}$. Taux : $+18\%$ et $-25\%$.
C2 (Analyser/Modéliser) : $CM_{\text{global}} = 1{,}18 \times 0{,}75 = \mathbf{0{,}885}$ (baise nette globale de $-11{,}5\%$ par rapport au départ).
C3 (Réaliser) :
• Nouvelle facture isolée : $F_1 = 45\,000 \times 0{,}885 = \mathbf{39\,825{,}00\text{ €}}$.
• Facture sans isolation : $45\,000 \times 1{,}18 = 53\,100\text{ €}$.
• Économie annuelle générée par l'isolation : $53\,100 - 39\,825 = \mathbf{13\,275{,}00\text{ €/an}}$.
C4 (Valider) : Temps d'amortissement : $\frac{30\,000}{13\,275} \approx \mathbf{2{,}26\text{ ans}}$ (soit environ 2 ans et 3 mois). L'investissement est **extrêmement rentable**.
C5 (Communiquer) : "L'isolation réduit la facture à 39 825 € malgré la hausse de 18%. Elle génère 13 275 € d'économies annuelles et amortit les 30 000 € d'investissement en seulement 2,26 ans."