Je Note l'Essentiel : Pourcentages & Évolutions
Loi des proportions $p = \frac{n}{N}$, Coefficient Multiplicateur $CM = 1 \pm \frac{t}{100}$, Taux d'évolution $t = \frac{V_1 - V_0}{V_0}$ et exemples illustrés pour chaque notion.
Proportions & Pourcentages d'Ensembles
📌 Définition Officielle (Proportion) :
Dans une population de référence de taille totale $N$, la proportion $p$ d'une sous-population de taille $n$ s'exprime par le rapport :
$$p = \frac{n}{N} \quad \text{avec } 0 \le p \le 1$$
Le pourcentage associé est $p_{\%} = p \times 100$.
🔗 Propriété : Proportions Étagées (Sous-ensemble $B \subset A \subset E$)
Si la sous-population $A$ représente une proportion $p_1$ de $E$, et que la sous-population $B$ représente une proportion $p_2$ de $A$, alors la proportion globale de $B$ dans $E$ est :
$$p = p_1 \times p_2$$
Exemples Simples d'Application (Notion 1) :
Ex 1 (Proportion simple) : Dans un lycée de $N = 400$ élèves, $n = 240$ sont inscrits en filière professionnelle.
$p = \frac{240}{400} = 0{,}60 \implies \mathbf{60\%}$ de la sous-population.
Ex 2 (Proportions étagées) : Dans une entreprise de $500$ salariés, $60\%$ sont techniciens ($p_1 = 0{,}60$). Parmi eux, $40\%$ travaillent de nuit ($p_2 = 0{,}40$).
$p = 0{,}60 \times 0{,}40 = \mathbf{0{,}24} \implies \mathbf{24\%}$ du total (soit $500 \times 0{,}24 = 120$ salariés).
Le Coefficient Multiplicateur ($CM$)
Pour passer d'une valeur initiale $V_0$ à une valeur finale $V_1$ après une variation de $t\%$, on utilise le Coefficient Multiplicateur ($CM$) :
📈 Cas d'une Augmentation (Hausse de $t\%$) :
$$CM = 1 + \frac{t}{100}$$
📉 Cas d'une Diminution (Baisse de $t\%$) :
$$CM = 1 - \frac{t}{100}$$
⚡ Formule de Calcul Direct :
$$V_1 = V_0 \times CM \quad \iff \quad V_0 = \frac{V_1}{CM}$$
Exemples Simples d'Application (Notion 2) :
Ex 1 (Hausse de +15%) : Un produit de $V_0 = 80\text{ €}$ augmente de $15\%$.
$CM = 1 + 0{,}15 = 1{,}15 \implies V_1 = 80 \times 1{,}15 = \mathbf{92\text{ €}}$.
Ex 2 (Remise de -25%) : Un vêtement de $V_0 = 60\text{ €}$ baisse de $25\%$.
$CM = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 \implies V_1 = 60 \times 0{,}75 = \mathbf{45\text{ €}}$.
Ex 3 (Retrouver V₀) : Après une hausse de $+20\%$ ($CM = 1{,}20$), un matériel coûte $V_1 = 144\text{ €}$.
$V_0 = \frac{144}{1{,}20} = \mathbf{120\text{ €}}$.
Évolutions Successives & Taux Réciproque
🔄 1. Évolutions Successives
Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives de coefficients $CM_1, CM_2, \dots, CM_k$, le Coefficient Multiplicateur Global est le produit des coefficients :
$$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_k$$
Le taux d'évolution global s'obtient par : $t_{\text{global}} = (CM_{\text{global}} - 1) \times 100$.
Un article de $100\text{ €}$ subit $+10\%$ ($CM_1 = 1{,}10$) puis $-20\%$ ($CM_2 = 0{,}80$).
• $CM_{\text{global}} = 1{,}10 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}88}$.
• Prix final : $100 \times 0{,}88 = \mathbf{88\text{ €}}$ (soit **$-12\%$** au global).
↩️ 2. Taux Réciproque (Retour au Prix Initial)
Pour revenir à la valeur initiale $V_0$ après une évolution de coefficient $CM$, il faut appliquer le Coefficient Multiplicateur Réciproque $CM'$ :
$$CM' = \frac{1}{CM}$$
Le taux d'évolution réciproque est : $t' = (CM' - 1) \times 100$.
Après une hausse de $+25\%$ ($CM = 1{,}25$), pour retrouver le prix initial :
• $CM' = \frac{1}{1{,}25} = \mathbf{0{,}80}$.
• Taux réciproque : $(0{,}80 - 1) \times 100 = \mathbf{-20\%}$ (il faut baisse de $20\%$).
Simulateur Dynamique de Coefficients & Taux (2nde Pro)
Paramètres d'Évolution :
Démonstration Mathématique en Direct :
• CM₁ = 1 + 20/100 = 1,20
• CM₂ = 1 - 15/100 = 0,85
• CM_global = 1,20 × 0,85 = 1,02 (Taux global = +2,00%)
• Valeur Finale V₁ = 150 × 1,02 = 153,00 €
• Taux Réciproque : CM' = 1/1,02 = 0,9804 (-1,96%)